题目内容
如图，抛物线y=x2-4x+1与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．（1）求点A、B的坐标及线段AB的长；
（2）求△ABC的外接圆⊙D的半径；
（3）若（2）中的⊙D交抛物线的对称轴于M、N两点（点M在点N的上方），在对称轴右边的抛物线上有一动点P，连接PM、PN、PC，线段PC交弦MN于点G．若PC把图形PMCN（指圆弧
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| MCN |
考点：二次函数综合题
专题：
分析：（1）直接解方程得出y=0时x的值，即可得出A，B点坐标，进而得出AB的长；
（2）利用DC=DA，结合勾股定理得出D点坐标即可；
（3）由（2）知，C是弧MN的中点，在半径DN上截取EN=MG，进而由圆的对称性可得：图形PMC的面积与图形PECN的面积相等，由PC把图形PMCN（指圆弧
和线段PM、PN组成的图形）分成两部分，这两部分面积之差为4，得出P点坐标．
（2）利用DC=DA，结合勾股定理得出D点坐标即可；
（3）由（2）知，C是弧MN的中点，在半径DN上截取EN=MG，进而由圆的对称性可得：图形PMC的面积与图形PECN的面积相等，由PC把图形PMCN（指圆弧
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| MCN |
解答：解：（1）令y=0，得：x2-4x+1=0，
解得：x1=2+
，x2=2-
．
∴点A的坐标为（2-
，0），点B的坐标为（2+
，0）．
∴AB的长为2
．
（2）由已知得点C的坐标为（0，1），
由y=x2-4x+1=（x-2）2-3，
可知抛物线的对称轴为直线x=2，
设△ABC的外接圆圆心D的坐标为（2，n），如图①，连接AD、CD，
∴DC=DA，即22+（n-1）2=[2-（2-
）]2+n2，
解得：n=1，
∴点D的坐标为（2，1），
∴△ABC的外接圆⊙D半径为2．
（3）解法一：由（2）知，C是弧MN的中点．
在半径DN上截取EN=MG，
又∵DM=DN，∴DG=DE．
则点G与点E关于点D对称，如图②，连接CD、CE、PD、PE．
由圆的对称性可得：图形PMC的面积与图形PECN的面积相等．
由PC把图形PMCN（指圆弧
和线段PM、PN组成的图形）分成两部分，这两部分面积之差为4．
可知△PCE的面积为4．
设点P坐标为（m，n）
∴S△CEP=2S△CDP=2×
•CD•|n-1|=4，
∴n1=3，n2=-1．
由点P在抛物线y=x2-4x+1上，得：
x2-4x+1=3，
解得：x1=2+
，x2=2-
（舍去）；
或x2-4x+1=-1，
解得：x3=2+
，x4=2-
（舍去）．
∴点P的坐标为（2+
，-1）或（2+
，3）．
解法二：
设点P坐标为（m，n），点G坐标为（2，c），直线PC的解析式为y=kx+b，
得：
，解得：
，
∴直线PC的解析式为y=
x+1．
当x=2时，c=
+1．
由（2）知，C是弧MN的中点，
连接CD，图形PCN的面积与图形PMC的面积差为：
|S扇形DCN+S△GCD+S△PGN-（S扇形MCD-S△GCD+S△PMG）|
=|2S△GCD+S△PGN-S△PMG|，
=|2×
×2（c-1）+
（1+c）（m-2）-
（3-c）（m-2）|
=|2（c-10+
（2c-2）（m-2）|
=|（c-1）（2+m-2）|
=|[
+1-1]m|
=|2（n-1）|
=4，
∴n1=3，n2=-1．
由点P在抛物线y=x2-4x+1上，得：
x2-4x+1=3，解得：x1=2+
，x2=2-
（舍去）；
或x2-4x+1=-1，解得：x3=2+
，x4=2-
（舍去）．
∴点P的坐标为（2+
，-1）或（2+
，3）．
解得：x1=2+
| 3 |
| 3 |
∴点A的坐标为（2-
| 3 |
| 3 |
∴AB的长为2
| 3 |
（2）由已知得点C的坐标为（0，1），
由y=x2-4x+1=（x-2）2-3，
可知抛物线的对称轴为直线x=2，
设△ABC的外接圆圆心D的坐标为（2，n），如图①，连接AD、CD，
∴DC=DA，即22+（n-1）2=[2-（2-
| 3 |
解得：n=1，
∴点D的坐标为（2，1），
∴△ABC的外接圆⊙D半径为2．
（3）解法一：由（2）知，C是弧MN的中点．
在半径DN上截取EN=MG，
又∵DM=DN，∴DG=DE．
则点G与点E关于点D对称，如图②，连接CD、CE、PD、PE．
由圆的对称性可得：图形PMC的面积与图形PECN的面积相等．
由PC把图形PMCN（指圆弧
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| MCN |
可知△PCE的面积为4．
设点P坐标为（m，n）
∴S△CEP=2S△CDP=2×
| 1 |
| 2 |
∴n1=3，n2=-1．
由点P在抛物线y=x2-4x+1上，得：
x2-4x+1=3，
解得：x1=2+
| 6 |
| 6 |
或x2-4x+1=-1，
解得：x3=2+
| 2 |
| 2 |
∴点P的坐标为（2+
| 2 |
| 6 |
解法二：
设点P坐标为（m，n），点G坐标为（2，c），直线PC的解析式为y=kx+b，
得：
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|
∴直线PC的解析式为y=
| n-1 |
| m |
当x=2时，c=
| 2(n-1) |
| m |
由（2）知，C是弧MN的中点，
连接CD，图形PCN的面积与图形PMC的面积差为：
|S扇形DCN+S△GCD+S△PGN-（S扇形MCD-S△GCD+S△PMG）|
=|2S△GCD+S△PGN-S△PMG|，
=|2×
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
=|2（c-10+
| 1 |
| 2 |
=|（c-1）（2+m-2）|
=|[
| 2(c-1) |
| m |
=|2（n-1）|
=4，
∴n1=3，n2=-1．
由点P在抛物线y=x2-4x+1上，得：
x2-4x+1=3，解得：x1=2+
| 6 |
| 6 |
或x2-4x+1=-1，解得：x3=2+
| 2 |
| 2 |
∴点P的坐标为（2+
| 2 |
| 6 |
点评：此题主要考查了二次函数综合应用以及勾股定理以及一元二次方程的解法等知识，利用数形结合三角形面积得出P点坐标是解题关键．
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