Question

在△ABC中，点A在直线L上，BC平行于直线L，边BC的长与BC边上的高的和为8cm，设BC的长xcm．
（1）写出△ABC的面积y与x之间的函数关系式；
（2）当△ABC的面积为6cm²，且BC大于BC边上的高时，求BC的长；
（3）当BC多长时，△ABC的面积最大？求出这个最大面积；此时，是否存在其周长最小的情形？如果存在，请求出其最小周长；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数的应用

专题：

分析：（1）根据三角形的面积公式=底×高÷2就可以直接表示出y与x之间的关系式；
（2）先由题意求出x的取值范围，再将y=6代入（1）的解析式就可以求出结论；
（3）将（1）的解析式化为顶点式就可以求出最大值，此时就可以求出BC的值，再由最短路径问题作出点B关于l的对称点E，连接CE交l于点F，△BCF的周长最小．

解答：解：（1）∵BC+AD=8，BC=x，
∴AD=8-x．
∴y=

x(8-x)

2

=-

1

2

x²+4x．
∴y与x之间的函数关系式为：y=-

1

2

x²+4x；
（2）∵x＞8-x，
∴x＞4．
当y=6时，6=-

1

2

x²+4x，
解得：x₁=2，x₂=6．
∴x=6．
答：BC的长是6cm．
（3）∵y=-

1

2

x²+4x；
y=-

1

2

（x-4）²+8，
∴当x=4时，y_最大=8．
∴AD=4cm．
作点B关于l的对称点E，连接CE交l于点F，
∴GB=GE=AD=4cm，EF=BF．
∴BE=4cm．
在Rt△BCE中，由勾股定理，得
CE=4

5

．
∵△BFE的最小周长为：BC+BF+CF=BC+EF+CF=BC+CE，
∴△BFE的最小周长为：（4+4

5

）cm．

点评：本题是一道二次函数的综合试题，考查了三角形的面积公式的运用，二次函数的解析式的运用，一元二次方程的解法和顶点式的运用，轴对称的性质的运用，在解答第三问时灵活运用轴对称的性质是关键．