Question

如图，AB和CD分别是⊙O上的两条弦，过点O分别作ON⊥CD于点N，OM⊥AB于点M，若ON=

1

2

AB，证明：OM=

1

2

CD．

Answer 1

考点：垂径定理,全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：设圆的半径是r，ON=x，则AB=2x，在直角△CON中利用勾股定理即可求得CN的长，然后根据垂径定理求得CD的长，然后在直角△OAM中，利用勾股定理求得OM的长，即可证得．

解答：证明：设圆的半径是r，ON=x，则AB=2x，
在直角△CON中，CN=

OC2-ON2

=

r2-x2

，
∵ON⊥CD，
∴CD=2CN=2

r2-x2

，
∵OM⊥AB，
∴AM=

1

2

AB=x，
在△AOM中，OM=

OA2-AM2

=

r2-x2

，
∴OM=

1

2

CD．

点评：此题涉及圆中求半径的问题，此类在圆中涉及弦长、半径、圆心角的计算的问题，常把半弦长，半圆心角，圆心到弦距离转换到同一直角三角形中，然后通过直角三角形予以求解垂．