如图所示.抛物线y=$\frac{1}{4}$x2+mx+n与直线y=$\frac{1}{2}$x-2相交于点A和点B.其中点A在y轴上.过点B作BC⊥x铀.垂足为点C(6.0)．(1)求抛物线的解析式,(2)点P是线段OC上一点．过点P作PM⊥x轴交直线AB于点M.交抛物线于点N．若设点P的坐标为(t.0).线段MN的长为s.求s与t的函数关系式,(3)连接MB.NC.是否存在点P使四� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

2．

如图所示，抛物线y=$\frac{1}{4}$x²+mx+n与直线y=$\frac{1}{2}$x-2相交于点A和点B，其中点A在y轴上，过点B作BC⊥x铀，垂足为点C（6，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是线段OC上一点．过点P作PM⊥x轴交直线AB于点M，交抛物线于点N．若设点P的坐标为（t，0），线段MN的长为s，求s与t的函数关系式；
（3）连接MB、NC，是否存在点P使四边形MNCB为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）先求点A、B的坐标，利用待定系数法求二次函数的解析式；
（2）根据解析式分别表示M、N两点的坐标，由MN=PM+PN或PN-PM进行计算；
（3）存在，根据MN=BC列方程可得结论．

解答解：（1）当x=6时，y=$\frac{1}{2}$×6-2=1，
∴B（6，1），
当x=0时，y=-2，$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{4}{x}^{2}+6m+n=1}\\{n=-2}\end{array}\right.$
∴A（0，-2），
把A（0，-2），B（6，1）代入抛物线的解析式中得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{4}×{6}^{2}+6m+n=1}\\{n=-2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=-2}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为：y=$\frac{1}{4}$x²-x-2；

（2）由题意得：M（t，$\frac{1}{2}$t-2），N（t，$\frac{1}{4}{t}^{2}$-t-2），
当y=0时，$\frac{1}{2}$x-2=0，
x=4，
∴D（4，0），
当0≤t≤4时，如图1，PM=2-$\frac{1}{2}$t，PN=-$\frac{1}{4}{t}^{2}$+t+2，
∴MN=PN-PM=-$\frac{1}{4}{t}^{2}$+t+2-2+$\frac{1}{2}$t=-$\frac{1}{4}{t}^{2}$+$\frac{3}{2}$t，
即s=-$\frac{1}{4}{t}^{2}$+$\frac{3}{2}$t；
当4＜t≤6时，如图2，PM=$\frac{1}{2}$t-2，PN=-$\frac{1}{4}{t}^{2}$+t+2，
∴MN=PM+PN=$\frac{1}{2}$t-2-$\frac{1}{4}{t}^{2}$+t+2=-$\frac{1}{4}{t}^{2}$+$\frac{3}{2}$t，
即s=-$\frac{1}{4}{t}^{2}$+$\frac{3}{2}$t；
综上所述，s与t的函数关系式为：s=-$\frac{1}{4}{t}^{2}$+$\frac{3}{2}$t；

（3）存在，如图3，
∵PM⊥x轴，BC⊥x铀，
∴PM∥BC，
即MN∥BC，
∴当MN=BC时，四边形MNCB为平行四边形，
即-$\frac{1}{4}{t}^{2}$+$\frac{3}{2}$t=1；
解得：t=3$±\sqrt{5}$，
∴P（3+$\sqrt{5}$，0）或（3-$\sqrt{5}$，0）．

点评本题是二次函数的综合题，难度适中，考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、函数与坐标轴的交点、平行四边形的判定，在函数的综合题中常利用函数的解析式表示线段的长，本题也是如此，但要注意坐标与图形特点．

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