Question

1．如图，在△ABC中，2AB=3AC，AD为△BAC的角平分线，点H在线段AC上，且CH=2AH，E为BC延长线上的一点，连接EH并延长交AD于点G，使EG=ED，过点E作EF⊥AD于点F，则AG：FG=4：7．

Answer 1

分析 由2AB=3AC，CH=2AH，得到AC=3AH，AB=$\frac{3}{2}$AC=$\frac{3}{2}$×3AH=$\frac{9}{2}$AH，于是得到$\frac{AB}{AH}=\frac{9}{2}$，由于AD为△BAC的角平分线，得到∠BAD=∠HAG，根据等腰三角形的性质三线合一得到∠GDE=∠DGE，DG=2DF=2FG，求得△ABD∽△AHG，列比例式代入数据即可得到结果．

解答 解：∵2AB=3AC，CH=2AH，
∴AC=3AH，AB=$\frac{3}{2}$AC=$\frac{3}{2}$×3AH=$\frac{9}{2}$AH，
∴$\frac{AB}{AH}=\frac{9}{2}$，
∵AD为△BAC的角平分线，
∴∠BAD=∠HAG，
∵EF⊥AD，EG=DE，
∴∠GDE=∠DGE，DG=2DF=2FG，
∴∠ADB=∠AGH，
∴△ABD∽△AHG，
∴$\frac{AD}{AG}=\frac{AB}{AH}=\frac{9}{2}$，
∴AG=$\frac{2}{9}$AD，
∴DG=$\frac{7}{9}$AD，FG=$\frac{1}{2}$DG=$\frac{7}{18}$AD，
∴$\frac{AG}{FG}=\frac{\frac{2}{9}AD}{\frac{7}{18}AD}$=$\frac{4}{7}$．
故答案为：$\frac{4}{7}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，推出△ABD∽△AHG是解题的关键．