Question

18．如图，一块直角三角板ABC放置在平面直角坐标系中，∠B=30°，顶点A的坐标为（0，6），直角顶点C的坐标为（-8，0）．
（1）求点A、C所在直线的解析式；
（2）求点B的坐标；
（3）在直线AC上是否存在点D，使以A、B、D为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，不必说明理由．

Answer 1

分析 （1）设出直线AC的解析式为y=kx+b，由A、C点的坐标，利用待定系数法即可得出结论；
（2）过点B作BD⊥x轴于点D，由∠BCD与∠ACO互余以及∠ACO与∠OAC互余可知∠BCD=∠OAC；在Rt△AOC中由已知的边长可以求出AC的长度即∠OAC的正弦和余弦值；在Rt△BCA中由∠ABC=30°和AC的长度可得出BC以及AB的长度；在Rt△BDC中，由BC的长度以及∠BCD的正弦余弦值可得出CD、BD的长度，从而能得出点B的坐标；
（3）假设存在，由点D在直线AC上可设出点D的坐标为（m，$\frac{3}{4}$m+6），由两点间的距离公式结合等腰三角形的性质列出关于m的一元二次方程，解方程可以得出结论．

解答 解：（1）设点A、C所在直线的解析式为y=kx+b，
∵A点坐标为（0，6），C点坐标为（-8，0），
∴有$\left\{\begin{array}{l}{6=b}\\{0=-8k+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{4}}\\{b=6}\end{array}\right.$．
故点A、C所在直线的解析式为y=$\frac{3}{4}$x+6．
（2）过点B作BD⊥x轴于点D，如图所示．

∵A点坐标为（0，6），C点坐标为（-8，0），
∴OA=6，OC=8，AC=$\sqrt{O{A}^{2}+O{C}^{2}}$=10．
又∵∠ABC=30°，∠ACB=90°，
∴AB=$\frac{AC}{sin∠ABC}$=20，BC=$\frac{AC}{tan∠ABC}$=10$\sqrt{3}$．
∵∠BCD+∠BCA+∠ACO=180°，∠ACO+∠OAC=90°，
∴∠BCD=∠OAC．
在Rt△AOC中，OA=6，OC=8，AC=10，∠AOC=90°，
∴sin∠OAC=$\frac{OC}{AC}$=$\frac{4}{5}$，cos∠OAC=$\frac{OA}{AC}$=$\frac{3}{5}$．
在Rt△BDC中，BC=10$\sqrt{3}$，
∴BD=BC•sin∠BCD=8$\sqrt{3}$，CD=BC•cos∠BCD=6$\sqrt{3}$，
OD=OC+CD=8+6$\sqrt{3}$．
故点B的坐标为（-8-6$\sqrt{3}$，8$\sqrt{3}$）．
（3）假设存在，
∵点D在直线AC上，
∴设点D的坐标为（m，$\frac{3}{4}$m+6）．
∵点A（0，6），点B（-8-6$\sqrt{3}$，8$\sqrt{3}$），
∴由两点间的距离公式可知：AB=20，AD=$\sqrt{{m}^{2}+（\frac{3}{4}m）^{2}}$，BD=$\sqrt{（m+8+6\sqrt{3}）^{2}+（\frac{3}{4}m+6-8\sqrt{3}）^{2}}$．
以A、B、D为顶点的三角形为等腰三角形有三种情况：
①AB=AD，即20=$\sqrt{{m}^{2}+（\frac{3}{4}m）^{2}}$，
解得：m=±16，
此时点D的坐标为（16，18）或（-16，-6）；
②AB=BD，即20=$\sqrt{（m+8+6\sqrt{3}）^{2}+（\frac{3}{4}m+6-8\sqrt{3}）^{2}}$，
解得：m=-16，或m=0（舍去），
此时点D的坐标为（-16，-6）；
③AD=BD，即$\sqrt{{m}^{2}+（\frac{3}{4}m）^{2}}$=$\sqrt{（m+8+6\sqrt{3}）^{2}+（\frac{3}{4}m+6-8\sqrt{3}）^{2}}$，
解得：m=-16，
此时点D的坐标为（-16，-6）．
综上所述：在直线AC上存在点D，使以A、B、D为顶点的三角形为等腰三角形，点D的坐标为（16，18）或（-16，-6）．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式、两点间的距离公式、等腰三角形的性质以及解直角三角形，解题的关键是：（1）利用待定系数法求解析式；（2）通过解直角三角形得出结论；（3）由两点间的距离公式结合等腰三角形的性质得出关于m的一元二次方程．本题属于中档题，难度不大，（1）没有难度；（2）需要借助三角函数值解直角三角形，也可以找相似三角形，根据相似三角形的性质找出比例关系；（3）设出点D坐标根据两点间的距离公式去列方程，其实在解决（3）时由∠BAC=60°可知等腰三角形其实为等边三角形．