题目内容
4．
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点P（-1，0），C（$\sqrt{2}$-1，1），D（0，-3），A，B在x轴上，且P为AB中点，S△CAP=1．（1）求经过A、D、B三点的抛物线的表达式．
（2）把抛物线在x轴下方的部分沿x轴向上翻折，得到一个新的图象G，点Q在此新图象G上，且S△APQ=S△APC，求点Q坐标．
（3）若一个动点M自点N（0，-1）出发，先到达x轴上某点（设为点E），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F），最后运动到点D，求使点M运动的总路程最短的点E、点F的坐标．
分析 （1）先根据三角形面积公式求出AP=2，则利用P为AB中点可确定A点和B点之间，然后利用交点式求抛物线解析式；
（2）如图1，利用翻折的性质得到图象G的解析式为y=x2+2x-3（x＜-3或x＞1），y=-x2-2x+3（-3≤x≤1），则利用三角形点Q的纵坐标为1，然后解方程x2+2x-3=1或-x2-2x+3=1可得到点Q的坐标；
（3）如图2，先利用求出点N关于x轴对称点N′（0，1），点D关于对称轴的对称点D′（-2，-3），连接N′D′交x轴于E，交直线x=-1于点F，则利用两点之间线段最短可判断此时点M运动的总路程最短，再利用待定系数法求出直线N′D′的解析式，然后确定E点和F点的坐标．
解答 解：（1）∵S△CAP=1，C（$\sqrt{2}$-1，1），
∴$\frac{1}{2}$•AP•1=1，
∴AP=2，
∵P为AB中点，P（-1，0），
∴A（-3，0），B（1，0）；
设过A、B、D三点的抛物线的表达式为y=a（x+3）（x-1），
把D（0，3）代入得a•3•（-1）=3，解得a=1，
∴过A、B、D三点的抛物线的表达式为y=x2+2x-3；
（2）如图1，抛物线y=x2+2x-3沿x轴翻折所得的新抛物线关系式为y=-x2-2x+3，
∴图象G的解析式为y=x2+2x-3（x＜-3或x＞1），y=-x2-2x+3（-3≤x≤1）
∵S△APQ=S△APC=1，
∴点Q到x轴的距离为1，
∴点Q的纵坐标为1，
∴x2+2x-3=1或-x2-2x+3=1，
解得x2+2x+3=1得x1=-1+$\sqrt{5}$，x2=-1-$\sqrt{5}$；解方程-x2-2x+3=1得x1=-1+$\sqrt{3}$，x2=-1-$\sqrt{3}$；
∴所求Q点的坐标为：（-1+$\sqrt{5}$，1），（-1-$\sqrt{5}$，1），（-1+$\sqrt{3}$，1），（-1-$\sqrt{3}$，1）；
（3）如图2，
∵N（0，-1），
∴点N关于x轴对称点N′（0，1），
∵点D（0，-3），
∴点D关于对称轴的对称点D′（-2，-3），
连接N′D′交x轴于E，交直线x=-1于点F，
∵EN=EN′，FD=FD′，
∴NE+EF+FD=EN′+EF+FD′=N′D′，
∴此时点M运动的总路程最短，
设直线N′D′的解析式为y=kx+b，
把N′（0，1），D′（-2，-3）代入得$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{-2k+b=-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴直线N′D′的关系式为y=2x+1，
∴E（-$\frac{1}{2}$，0），
当x=-1时，y=-1，
∴F（-1，-1）．
点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．利用两点之间线段最短解决（3）问的最短路径问题．
如图，在直角坐标系中，直线y1=2x-2与坐标轴交于A、B两点，与双曲线y2=$\frac{k}{x}$（x＞0）交于点C，过点C作CD⊥x轴，垂足为D，且OA=AD，则以下结论：