Question

16．设a、b、c都是实数，求证：（b-c）²≥（a-2b）（2c-a）．

Answer 1

分析 计算（b-c）²与（a-2b）（2c-a）的差，如果大于等于0，则：（b-c）²≥（a-2b）（2c-a）；如果小于0，则：（b-c）²＜（a-2b）（2c-a）．

解答 证明：∵（b-c）²-（a-2b）（2c-a），
=b²-2bc+c²-2ac+a²+4bc-2ab，
=a²+b²+c²-2ac+2bc-2ab，
=b²+2bc+b²-2ac-2ab+a²，
=（b+c）²-2a（b+c）+a²，
=（b+c-a）²，
∵（b+c-a）²≥0，
∴（b-c）²-（a-2b）（2c-a）≥0，
∴（b-c）²≥（a-2b）（2c-a）．

点评 本题是利用因式分解解决证明问题，考查了因式分解的应用和大小比较问题；具体做法是：根据题目的特点，利用求差法进行列式，通过因式分解将式子变形，变成完全平方式，从而得出结论．