Question

14．如图，在直角坐标系中，直线y₁=2x-2与坐标轴交于A、B两点，与双曲线y₂=$\frac{k}{x}$（x＞0）交于点C，过点C作CD⊥x轴，垂足为D，且OA=AD，则以下结论：
①S_△ADB=S_△ADC；
②当0＜x＜3时，y₁＜y₂；
③如图，当x=3时，EF=$\frac{8}{3}$；
④当x＞0时，y₁随x的增大而增大，y₂随x的增大而减小．
其中正确结论的序号是①③④．

Answer 1

分析 由直线y₁=2x-2确定出A与B坐标，利用AAS得到三角形OBA与三角形CDA全等，得到CD=OB，确定出C坐标，根据待定系数法确定出反比例解析式，由图象判断y₁＜y₂时x的范围，以及y₁与y₂的增减性，把x=3分别代入直线与反比例解析式，相减求出EF的长，即可做出判断．

解答 解：对于直线y₁=2x-2，
令x=0，得到y=2；令y=0，得到x=1，
∴A（1，0），B（0，-2），即OA=1，OB=2，
在△OBA和△CDA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOB=∠ADC=90°}\\{∠OAB=∠DAC}\\{OA=AD}\end{array}\right.$，
∴△OBA≌△CDA（AAS），
∴CD=OB=2，OA=AD=1，
∴S_△ADB=S_△ADC（同底等高三角形面积相等），选项①正确；
∴C（2，2），
把C坐标代入反比例解析式得：k=4，即y₂=$\frac{4}{x}$，
由函数图象得：当0＜x＜2时，y₁＜y₂，选项②错误；
当x=3时，y₁=4，y₂=$\frac{4}{3}$，即EF=4-$\frac{4}{3}$=$\frac{8}{3}$，选项③正确；
当x＞0时，y₁随x的增大而增大，y₂随x的增大而减小，选项④正确，
故答案为①③④．

点评 此题考查了反比例函数与一次函数的交点，涉及的知识有：一次函数与坐标系的交点，待定系数法确定反比例函数解析式，坐标与图形性质以及反比例函数的性质，熟练掌握函数的性质是解本题的关键．