Question

9．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，DE⊥AB于点E．
（1）求证：△ACD≌△AED
（2）若AC=5，△DEB的周长为8，求△ABC的周长．

Answer 1

分析 （1）根据HL证明△ACD≌△AED即可；
（2）根据C_△ABC=AC+AB+BC=AC+（AE+EB）+（BD+DC）=AC+AC+（EB+BD+DE）=AC+AC+C_△DEB计算即可；

解答 解：（1）证明：因为AD平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB
所以DC=DE
在△ACD和△AED中，
$\left\{\begin{array}{l}{DC=DE}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△AED（HL）．

（2）由（1）得△ACD≌△AED
所以AE=AC=5，CD=ED，
C_△ABC=AC+AB+BC
=AC+（AE+EB）+（BD+DC）
=AC+AC+（EB+BD+DE）
=AC+AC+C_△DEB
=5+5+8
=18．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是掌握角平分线的性质定理，属于中考常考题型．