题目内容
10．已知：（1）正方形ABCD中，BD为对角线，把△ABD延AB向右平移至图1的位置，得到△EFG，直线EG、BC交于点H，连AH、CG，则AH与CG有怎样的关系？直接写出你的结论．（2）当△ABD平移到线段BA的延长线上时（如图2），（1）中的结论是否还成立？说明你的理由．
（3）当正方形ABCD改为矩形ABCD，且AB=nBC（n≠1）时，连对角线AC，将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△EFG，再将它沿直线AB向左平移（如图3），EG和BC交于点H，连AH、CG，问此时AH和CG有怎样的关系？证明出你的结论．
分析 （1）由正方形的性质的性质得出结论，判断出△ABH≌△CBG，再依据直角三角形的两锐角互余，即可；
（2）由正方形的性质的性质得出结论，判断出△ABH≌△CBG，再依据直角三角形的两锐角互余，即可；
（3）由旋转和正方形的性质得到结论，判断出△BGH∽△FGE，再依据直角三角形的两锐角互余，即可．
解答 解：（1）AH=CG，AH⊥CG；
∵正方形ABCD，
∴AB=BC，∠ABC=∠ABH=90°，∠ABD=∠FGE=45°，
∴∠AGB=∠FGE=45°，
∴BG=AB，
∴△ABH≌△CBG，
∴AH=CG，∠HAB=∠GCB，
在Rt△ABH中，∠HAB+∠AHB=90°，
∴∠GCB+∠AHB=90°，
∴AH⊥CG；
（2）成立．延长CG交AH于点K，
∵正方形ABCD，
∴AB=BC，∠ABC=∠ABH=90°，∠ABD=∠FGE=45°，
∴∠AGB=∠FGE=45°，
∴BG=AB，
∴△ABH≌△CBG，
∴AH=CG，∠HAB=∠GCB，
在Rt△ABH中，∠HAB+∠AHB=90°，
∴∠GCB+∠AHB=90°，
∴AH⊥CG；
（3）AH=nCG，AH⊥CG，
证明：∵BH∥EF，
∴∠EFB=∠CBG，
又∵∠EGF=∠HGB，
∴△BGH∽△FGE，
∴$\frac{BG}{BH}=\frac{FG}{EF}$，
又∵FG=BC，EF=AB，AB=nBC，
∴$\frac{BG}{BH}=\frac{BC}{AB}=\frac{1}{n}$，
又∵∠ABC=∠CBG=90°，
∴△ABC∽△CBG，
∴$\frac{CG}{AH}=\frac{BC}{AB}=\frac{1}{n}$，∠HAB=∠GCB，
∴AH=nCG，
∵∠GCB+∠CGB=90°∴∠HAB+∠CGB=90°
∴AH⊥CG．
∴AH=nCG，AH⊥CG．
点评 此题是四边形的综合题，主要考查正方形的性质和旋转的性质，判定三角形全等和相似，判断一个角是直角的方法，判断出三角形全等和相似是解本题的关键．
如图，在菱形ABCD中，∠BAC=30°，则∠B=120度．
如图，直线y=x+3交x轴于A，与直线y=kx交于点P，且S△AOP=3，求关于x的不等式0＜kx＜x+3的解集．| A． | 在y轴右侧该抛物线上不存在点M，使S△ACM=3 | |
| B． | 在y轴右侧该抛物线上存在两个点M，使S△ACM=3 | |
| C． | 在y轴右侧该抛物线上存在唯一的点M（2，3），使S△ACM=3 | |
| D． | 在y轴右侧该抛物线上存在唯一的点M（2，-3），使S△ACM=3 |
已知：平行四边形ABCD，点E在AD上，且BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，tan∠EBC=$\frac{1}{2}$，BE=4，则△CDE的面积为$\frac{6}{5}$．
已知平行四边形的面积是128平方厘米，E、F分别是两条边上的中点，求阴影部分的面积．
如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB边上一点，点F是AD边上一点，试说明S△ECD=S△FBC的理由．
在?ABCD中，AB=6，AD=8，∠ABC=60°，点E是AB的中点，EF⊥AB交BC于F，连接DF，则DF的长为2$\sqrt{13}$．