Question

5．已知抛物线y=ax²-2ax+m与x轴相交于A（-1，0）、B两点，与y轴负半轴相交于点C，且S_△ABC=6，则（　　）

• A． 在y轴右侧该抛物线上不存在点M，使S_△ACM=3
• B． 在y轴右侧该抛物线上存在两个点M，使S_△ACM=3
• C． 在y轴右侧该抛物线上存在唯一的点M（2，3），使S_△ACM=3
• D． 在y轴右侧该抛物线上存在唯一的点M（2，-3），使S_△ACM=3

Answer 1

分析 根据抛物线具有对称性，求出点B的坐标；再根据三角形的面积，求出点C的坐标，根据待定系数法求出抛物线解析式；设在y轴右侧的抛物线上存在点M（m，m²-2m-3），使△ACM的面积为3，根据待定系数法求出直线AM的解析式，确定点N的坐标，根据△AMC的面积求出m的值，从而得解．

解答 解：如图，
由y=ax²-2ax+m可知，对称轴x=$-\frac{b}{2a}=-\frac{-2a}{2a}=1$，
∵点A（-1，0），
∴根据抛物线具有对称性，可得点B（3，0），
∵S_△ABC=6，
∴$\frac{1}{2}×4×|y|=6$，解得|y|=3，
∴点C（0，-3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+2a+m=0}\\{m=-3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{m=-3}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为：y=x²-2x-3，
设在y轴右侧的抛物线上存在点M（m，m²-2m-3），使△ACM的面积为3，
设经过点A，点M的直线AM的解析式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{mk+b={m}^{2}-2m-3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=m-3}\\{b=m-3}\end{array}\right.$，
∴直线AM的解析式为：y=（m-3）x+m-3，
∴直线AM与y轴交于点N（0，m-3），
∴${S}_{△ACM}=\frac{1}{2}×（-3-m+3）（m+1）=3$，
解得：m₁=-3，m₂=2，
∴点M（2，-3），
∴在y轴右侧该抛物线上存在唯一的点M（2，-3），使使△ACM的面积为3．
故选：D．

点评 本题主要考查抛物线与x轴的交点、待定系数法求解析式，设点M的坐标，用含m的式子表示点M的坐标，确定直线解析式，利用分割法求三角形的面积是解决此题的关键，根据题意画出图形，利用数形结合思想解决此题更简单．