Question

如图1，在平面直角坐标系中，直线y=-x-4分别交x轴、y轴于A，B，交双曲线y=

k

x

（x＜0）于M，连OM，且S_△OBM=16．
（1）求k的值．
（2）过M作MN⊥y轴于N，在直线AB上是否存在点E，使OEN的周长最小？若存在，求E点的坐标；否则说明理由；
（3）如图2，在（2）的条件下，P为双曲线上一动点，点Q为PB上一点，且AQ=AB，连MQ，NQ，求证：BQ-MQ=

2

NQ．

Answer 1

考点：反比例函数综合题,四点共圆,线段的性质：两点之间线段最短,全等三角形的判定与性质,等腰三角形的判定与性质,圆周角定理,轴对称的性质,平行线分线段成比例

专题：压轴题

分析：（1）过M作MN⊥y轴于N，只需根据条件求出点M的坐标，就可解决问题；
（2）作点O关于直线AB的对称点O′，连接NO′，与直线AB交于点E，连接OE，根据两点之间线段最短可得此时△OEN的周长最小，然后只需依次求出点O′的坐标、直线O′N的解析式、直线O′N与直线AB的交点，就可解决问题；
（3）易证M、Q、N、B四点共圆，从而得到∠NQB=∠NMB=45°．过点N作NT⊥NQ交QB于T，如图②，则有∠NTQ=45°=∠NQB，由此可得NQ=NT，QT=

2

NQ，易证△QNM≌△TNB，则有QM=TB，就可得到QB-QM=QB-TB=QT=

2

NQ．

解答：解：（1）过M作MN⊥y轴于N，如图①，
∵直线y=-x-4分别交x轴、y轴于A、B，
∴当x=0时，y=-4，点B（0，-4）；
当y=0时，x=-4，点A（-4，0）．
∵S_△OBM=

1

2

OB•MN=

1

2

×4×MN=16，
∴MN=8，
∵点M在双曲线y=

k

x

（x＜0）上，
∴点M的坐标为（-8，4），k=-8×4=-32；

（2）作点O关于直线AB的对称点O′，连接NO′，与直线AB交于点E，连接OE，如图①，
则有BO′=BO=4，∠O′BA=∠OBA．
根据两点之间线段最短可得此时△OEN的周长最小．
∵OA=OB，∠AOB=90°，∴∠OBA=45°，
∴∠O′BA=∠OBA=45°，
∴∠O′BO=90°，
∴点O′的坐标为（-4，-4），
设直线O′N的解析式为y=kx+4，
把O′（-4，-4）代入y=kx+4得，
∴-4k+4=-4，
∴k=2，
∴直线O′N的解析式为y=2x+4，
解

y=2x+4 y=-x-4

得，

x=- 8 3 y=- 4 3

，
∴点E的坐标为（-

8

3

，-

4

3

）；

（3）连接AN，过点N作NT⊥NQ交QB于T，如图②，
∵∠AOB=∠MNB=90°，
∴AO∥MN，
∴

BA

AM

=

BO

ON

=1，
∴BA=AM，
∴AN=AB=AM．
∵AQ=AB，
∴AM=AQ=AN=AB，
∴M、Q、N、B四点共圆，
∴∠NQB=∠NMB．
∵MN=BN，∠MNB=90°，
∴∠NMB=∠NBM=45°，
∴∠NQB=45°．
∴∠NTQ=45°=∠NQB，
∴NQ=NT，QT=

2

NQ．
∵∠QNT=∠MNB=90°，
∴∠QNM=∠TNB．
在△QNM和△TNB中，

NQ=NT ∠QNM=∠TNB NM=NB

，
∴△QNM≌△TNB，
∴QM=TB，
∴QB-QM=QB-TB=QT=

2

NQ．

点评：本题主要考查了直线上点的坐标特征、用待定系数法求反比例函数的解析式、平行线分线段成比例、四点共圆的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、两点之间线段最短、轴对称性等知识，综合性比较强，有一定的难度，证到∠NQB=45°并由此构造全等三角形是解决第（3）小题的关键．