Question

13．如图，O为正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OA的长为半径的⊙O与CD相切于点M，
（1）求证：BC与⊙O相切；
（2）若正方形的边长为1，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）过O作ON⊥BC于N，由垂直的定义得到∠ONC=90°，根据正方形的性质得到∠OCN=∠OCM=45°，根据切线的性质得到∠OMC=90°，根据全等三角形的性质得到ON=OM，于是得到结论；
（2）设⊙O的半径=r，于是得到AO=r，OC=$\sqrt{2}$r，列方程即可得到结论．

解答 （1）证明：过O作ON⊥BC于N，
∴∠ONC=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠OCN=∠OCM=45°，
∵CD与⊙O相切于M，
∴∠OMC=90°，
在△ONC与△OMC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ONC=∠OMC=90°}\\{∠OCN=∠OCM}\\{OC=OC}\end{array}\right.$，
∴△OCN≌△OCM，
∴ON=OM，
∴BC与⊙O相切；

（2）∵正方形的边长为1，
∴AC=$\sqrt{2}$，
设⊙O的半径=r，
∴AO=r，OC=$\sqrt{2}$r，
∵AO+OC=AC，
∴r+$\sqrt{2}$r=$\sqrt{2}$，
∴r=2-$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．