Question

2．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，2），B（4，0），C（4，-4）．
（1）请在图中，画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A₁B₁C₁； 
（2）以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的$\frac{1}{2}$，得到△A₂B₂C₂，请在图中y轴右侧，画出△A₂B₂C₂，并求出∠A₂C₂B₂的正弦值．

Answer 1

分析 （1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用位似图形的性质得出对应点位置，再利用锐角三角三角函数关系得出答案．

解答 解：（1）如图所示：△A₁B₁C₁，即为所求；

（2）如图所示：△A₂B₂C₂，即为所求，
由图形可知，∠A₂C₂B₂=∠ACB，
过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D，
由A（2，2），C（4，-4），B（4，0），易得D（4，2），
故AD=2，CD=6，AC=$\sqrt{{2}^{2}+{6}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
∴sin∠ACB=$\frac{AD}{AC}$=$\frac{2}{2\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
即sin∠A₂C₂B₂=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．

点评 此题主要考查了平移变换以及位似变换、锐角三角三角函数关系等知识，正确得出对应点位置是解题关键．