Question

8．已知正方形ABCD，P为直线CD上的一点，以PC为边作正方形PCNM，使点N在直线BC上，连接MB、MD．
（1）如图1，若点P在线段DC的延长线上，求证：MB=MD；
（2）如图2，若点P在线段DC上，当P为DC的中点时，判断△PMD的形状，并说明理由；
（3）如图3，若点P在线段DC上，连接BD，当MP平分∠DMB时，求∠DMB的度数．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质证明△BNM≌△DPM，可得MB=MD；
（2）根据小正方形的性质得：∠DPM=∠CPM=90°，由中点结合得：PD=PM，所以△PMD是等腰直角三角形；
（3）如图3，作辅助线，构建等腰直角三角形EFD，设CD=a，PC=b，则PD=a-b，由PM∥BC，得△PME∽△CBE，所以$\frac{PM}{BC}=\frac{PE}{CE}$，代入可计算得：a=$\sqrt{2}$b，根据正方形对角线平分直角得：∠CDB=45°，得△DEF是等腰直角三角形，求EF和CE的长，得EF=EC，根据角平分线的逆定理得：BE平分∠DBC，最后由平行线和已知的角平分线可得结论．

解答 证明：（1）如图1，∵四边形ABCD和四边形CPMN是正方形，
∴BC=DC，CN=CP，∠P=∠N=90°，
∴BC+CN=DC+PC，即BN=DP，
∴△BNM≌△DPM，
∴MB=MD；

（2）△PMD是等腰直角三角形；
理由如下：如图2，
∵P是CD的中点，
∴PD=PC，
∵四边形CPMN是正方形，
∴PM=PC，∠DPM=∠CPM=90°，
∴PD=PM，
∴△PMD是等腰直角三角形；

（3）如图3，设PC与BM相交于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，
设CD=a，PC=b，则PD=a-b，
∵MP平分∠DME，MP⊥DE，
∴PE=PD=a-b，CE=a-（2a-2b）=2b-a，
∵PM∥BC，
∴△PME∽△CBE，
∴$\frac{PM}{BC}=\frac{PE}{CE}$，即$\frac{b}{a}=\frac{a-b}{2b-a}$，
∴a=$\sqrt{2}$b，
∵∠CDB=45°，
∴EF=DE•sin45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$•2（a-b）=$\sqrt{2}$（$\sqrt{2}$b-b）=2b-$\sqrt{2}$b，
∵CE=2b-a=2b-$\sqrt{2}$b，
∴EF=EC，EF⊥BD，EC⊥BC，
∴BE平分∠DBC，
∴∠EBF=∠EBC=$\frac{1}{2}$∠DBC=22.5°，
∵PM∥BC，
∴∠PME=∠EBC=22.5°，
∴∠DMB=45°．

点评 本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质、特殊的三角函数值、三角形相似的性质和判定、角平分线的逆定理、等腰直角三角形的性质和判定，前两问难度不大，第三问有难度，作辅助线，设CD=a，PC=b，表示EF和CE的长是关键．