题目内容
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．
（1）求B，D两点的坐标及直线AC的解析式；
（2）直线DE为这条抛物线的对称轴，请在直线DE上找一点M，使△ACM的周长最小，求出M点的坐标；
（3）点P是x轴上的一个动点，过P点做直线l∥AC交抛物线于点Q，试探究：随着P点的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点A，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）求B，D两点的坐标及直线AC的解析式；
（2）直线DE为这条抛物线的对称轴，请在直线DE上找一点M，使△ACM的周长最小，求出M点的坐标；
（3）点P是x轴上的一个动点，过P点做直线l∥AC交抛物线于点Q，试探究：随着P点的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点A，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
考点：二次函数综合题
专题：压轴题
分析：（1）令y=0，解方程求出A、B的坐标，把函数解析式整理成顶点式形式求出顶点D的坐标，再令x=0求出点C的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式求解即可；
（2）根据轴对称确定最短路线问题，连接BC，与对称轴的交点即为所求的点M，然后求出直线BC的解析式，再求解即可；
（3）分点P在点Q的左边和右边两种情况，根据平行四边形的对边平行且相等，从点A、C的坐标关系，用点P的坐标表示出点Q的坐标，然后把点Q的坐标代入抛物线解析式求解即可．
（2）根据轴对称确定最短路线问题，连接BC，与对称轴的交点即为所求的点M，然后求出直线BC的解析式，再求解即可；
（3）分点P在点Q的左边和右边两种情况，根据平行四边形的对边平行且相等，从点A、C的坐标关系，用点P的坐标表示出点Q的坐标，然后把点Q的坐标代入抛物线解析式求解即可．
解答：解：（1）令y=0，则-x2+2x+3=0，
整理得，x2-2x-3=0，
解得x1=-1，x2=3，
所以，点A（-1，0），B（3，0），
∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴顶点D的坐标为（1，4），
令x=0，则y=3，
所以，点C的坐标为（0，3），
设直线AC的解析式为y=kx+b，
则
，
解得
．
所以，直线AC的解析式为y=3x+3；
（2）∵A、B关于对称轴直线x=1对称轴，
∴直线BC与对称轴的交点即为直线DE上使△ACM的周长最小的点，
设直线BC的解析式为y=mx+n，
则
，
解得
，
所以，直线BC的解析式为y=-x+3，
当x=1时，y=-1+3=2，
所以，点M的坐标为（1，2）；
（3）∵直线l∥AC，
∴PQ∥AC且PQ=AC，
∵A（-1，0），C（0，3），
∴设点P的坐标为（x，0），
则①若点Q在x轴上方，则点Q的坐标为（x+1，3），
此时，-（x+1）2+2（x+1）+3=3，
解得x1=-1（舍去），x2=1，
所以，点Q的坐标为（2，3），
②若点Q在x轴下方，则点Q的坐标为（x-1，-3），
此时，-（x-1）2+2（x-1）+3=-3，
整理得，x2-4x-3=0，
解得x1=2+
，x2=2-
，
所以，点Q的坐标为（1+
，-3）或（1-
，-3），
综上所述，点Q的坐标为（2，3）或（1+
，-3）或（1-
，-3）．
整理得，x2-2x-3=0，
解得x1=-1，x2=3，
所以，点A（-1，0），B（3，0），
∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴顶点D的坐标为（1，4），
令x=0，则y=3，
所以，点C的坐标为（0，3），
设直线AC的解析式为y=kx+b，
则
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解得
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所以，直线AC的解析式为y=3x+3；
（2）∵A、B关于对称轴直线x=1对称轴，
∴直线BC与对称轴的交点即为直线DE上使△ACM的周长最小的点，
设直线BC的解析式为y=mx+n，
则
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解得
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所以，直线BC的解析式为y=-x+3，
当x=1时，y=-1+3=2，
所以，点M的坐标为（1，2）；
（3）∵直线l∥AC，
∴PQ∥AC且PQ=AC，
∵A（-1，0），C（0，3），
∴设点P的坐标为（x，0），
则①若点Q在x轴上方，则点Q的坐标为（x+1，3），
此时，-（x+1）2+2（x+1）+3=3，
解得x1=-1（舍去），x2=1，
所以，点Q的坐标为（2，3），
②若点Q在x轴下方，则点Q的坐标为（x-1，-3），
此时，-（x-1）2+2（x-1）+3=-3，
整理得，x2-4x-3=0，
解得x1=2+
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所以，点Q的坐标为（1+
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综上所述，点Q的坐标为（2，3）或（1+
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点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了抛物线与x轴的交点问题，待定系数法求二次函数解析式，轴对称确定最短路线问题，平行四边形的对边平行且相等的性质，（2）确定出点M的位置是解题的关键，（3）难点在于分情况讨论．
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