Question

如图，已知A，B两点的坐标分别为（2，0），（0，2），⊙C的圆心坐标为（-1，0），半径为1．若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值是多少？（写解题过程）

Answer 1

考点：切线的性质,一次函数图象上点的坐标特征

专题：

分析：由于OA的长为定值，若△ABE的面积最小，则BE的长最短，此时AD与⊙相切；可连接CD，在Rt△ADC中，由勾股定理求得AD的长，易证得△AEO∽△ACD，根据相似三角形的对应边成比例，可求出BE的值，进而可根据三角形的面积公式得解．

解答：解：若△ABE的面积最小，则AD与⊙C相切，连接CD，则CD⊥AD；
Rt△ACD中，CD=1，AC=OC+OA=3；
由勾股定理，得：AD=2

2

；
∵∠ADC=∠AOE=90°，∠CAD=∠EAO，
∴△ACD∽△AEO，
∴

OE

CD

=

OA

AD

，
∴OE=

2

2

，
∴BE=2-

2

2

，
∴S_△ABE=

1

2

×2×（2-

2

2

）=2-

2

2

；

点评：此题主要考查了切线的性质、相似三角形的性质、三角形面积的求法等知识；能够正确的判断出△BE面积最小时AD与⊙C的位置关系是解答此题的关键．