题目内容

如图，以O为原点的直角坐标系中，A点的坐标为（0，1），直线x=1交x轴于点B．点为线段AB上一动点，作直线PC⊥PO，交直线x=1于点C．过P点作直线MN平行于x轴，交y轴于点M，交直线x=1于点N．记AP=x，△PBC的面积为S．
（1）当点C在第一象限时，求证：△OPM≌△PCN；
（2）当点P在线段AB上移动时，点C也随之在直线x=1上移动，求出S与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）当点P在线段AB上移动时，△PBC是否可能成为等腰三角形？如果可能，直接写出所有能使△PAC成为等腰三角形的x的值；如果不可能，请说明理由．
考点：一次函数综合题
专题：
分析：（1）根据∠OPC=90°和同角的余角相等，我们可得出△OPM和△PCN中两组对应角相等，要证两三角形全等，必须有相等的边参与，已知了OA=OB，因此三角形OAB是等腰直角三角形，那么△AMP也是个等腰三角形，AM=MP，OA=OB=MN，由此我们可得出OM=PN，由此我们可得出两三角形全等．
（2）分两种情况进行讨论：①点C在第一象限时，②点C在第四象限时．分别利用S=S△PBC=
1
2
BC•PN求解即可．
（3）要分两种情况进行讨论：①当C在第一象限时，要想使PCB为等腰三角形，那么PC=CB，∠PBC=45°，因此此时P与A重合，那么P的坐标就是A的坐标．②当C在第四象限时，要想使PCB为等腰三角形，那么PB=BC，在等腰RT△PBN中，我们可以用x表示出BP的长，也就表示出了BC的长，然后根据（1）中的全等三角形，可得出MP=NC，那么可用这两个含未知数x的式子得出关于x的方程来求出x的值．那么也就求出了PM、OM的长，也就得出了P点的坐标．
解答：证明：（1）如图，

∵OM∥BN，MN∥OB，∠AOB=90°
∴四边形OBNM为矩形
∴MN=OB=1，∠PMO=∠CNP=90°
∵OA=OB，
∴∠1=∠3=45°
∵MN∥OB
∴∠2=∠3=45°
∴∠1=∠2=45°，
∴AM=PM
∴OM=OA-AM=1-AM，PN=MN-PM=1-PM
∴OM=PN
∵∠OPC=90°，
∴∠4+∠5=90°，
又∵∠4+∠6=90°，
∴∠5=∠6
∴△OPM≌△PCN
（2）解：①点C在第一象限时，
∵AM=PM=APsin45°=
2
2
x
∴OM=PN=1-
2
2
x，
∵△OPM≌△PCN
∴CN=PM=
2
2
x，
∴BC=OM-CN=1-
2
2
x-
2
2
x=1-
2
x，
∴S=S△PBC=
1
2
BC•PN=
1
2
×（1-
2
2
x）•（1-
2
x）=
1
2
x2-
3
2
2
x+
1
2
（0≤x＜
2
2
）．
②如图1，点C在第四象限时，

∵AM=PM=APsin45°=
2
2
x
∴OM=PN=1-
2
2
x，
∵△OPM≌△PCN
∴CN=PM=
2
2
x，
∴BC=CN-OM=
2
2
x-（1-
2
2
x）=
2
x-1，
∴S=S△PBC=
1
2
BC•PN=
1
2
×（1-
2
2
x）•（
2
x-1）=
1
2
x2-
3
2
2
x+
1
2
（
2
2
＜x＜
2
）．
（3）解：△PBC可能成为等腰三角形
①当P与A重合时，PC=BC=1，此时P（0，1）
②如图，当点C在第四象限，且PB=CB时

有BN=PN=1-
2
2
x
∴BC=PB=
2
PN=
2
-x
∴NC=BN+BC=1-
2
2
x+
2
-x
由（2）知：NC=PM=
2
2
x
∴1-
2
2
x+
2
-x=
2
2
x
整理得（
2
+1）x=
2
+1
∴x=1
∴PM=
2
2
x=
2
2
，BN=1-
2
2
x=1-
2
2
，
∴P（
2
2
，1-
2
2
）
由题意可知PC=PB不成立
∴使△PBC为等腰三角形的点P的坐标为（0，1）或（
2
2
，1-
2
2
）．
点评：本题考查了一次函数的综合题，涉及全等三角形的判定及等腰三角形的性质；分类讨论是正确解答本题的关键．
练习册系列答案
相关题目
在下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形，且对称轴只有两条的是（　　）
A、圆B、平行四边形
C、等边三角形D、正方形
计算：8
2
15
÷（-2）=
 
．
如图（1），正方形ABCD的顶点B、C在双曲线y=
k
x
上，另两个顶点在坐标轴上，
（1）设OA=a，OD=b，①请直接写出B、C的坐标（用a、b表示）：B（
 
，
 
），C（
 
，
 
），
②求证：a=b（ ①中结论可直接用 ）；
（2）如图（2），作正方形BFGH，且F在x轴上，H在双曲线上，当S正方形BFGH=5时，求k；
（3）如图（3），作矩形BFGH，且F在x轴上，H在双曲线上，BH：BF=2：1，当S矩形BFGH=17时，
请直接写出k的值．
如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于点F，且CE=CB，连接AF，BF．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）①求∠ABF的度数；
②若AF=4，且AB平分∠OAF时，求弦AB的长．
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．
（1）求B，D两点的坐标及直线AC的解析式；
（2）直线DE为这条抛物线的对称轴，请在直线DE上找一点M，使△ACM的周长最小，求出M点的坐标；
（3）点P是x轴上的一个动点，过P点做直线l∥AC交抛物线于点Q，试探究：随着P点的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点A，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
已知线段AB两端的坐标A（4，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的
1
2
后得到线段CD，A点的对应点为C点，则端点C的坐标为（　　）
A、（2，3）
B、（2，1）
C、（4，3）
D、（4，1）
在如图所示的网格（每个小正方形的边长为1）中，△ABC的顶点A的坐标为（-2，1）．
（1）在网格图中画出两条坐标轴，并标出坐标原点；
（2）作△A′B′C′关于x轴对称的图形△A″B″C″．
中国政府为了对全球气候变暖，积极推进节能减排，决定在全国范围内每年按成本价推广5000万只节能灯．节能灯分为8W、24W和其他瓦数三种类别，且数量比为3：5：2，居民凭购买节能灯发票到当地财政部门核实即可返还50%购灯费，由于有生产、运输、销售等环节成本，现将发票出具金额视为节能灯成本价，某县今年推广财政补贴节能灯时，李阿姨买了4只8W和3只24W的节能灯，发票出具金额为58元；王叔叔买了2只8W和2只24W的节能灯，发票出具金额为34元．
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（2）若节能灯合格率为99.8%，居民买的都是合格品，非合格品节能灯损失由国家按合格节能灯成本价承担，财政补贴部分也由国家承担．每年5000万只节能灯供不应求，一年国家因居民节约用电而产生的经济收益约14.42985亿元，若除了8W、24W之外的其他瓦数灯管平均每只成本价13元，国家一年相对支出多少钱？

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