Question

19．已知B港口位于A观测点北偏东45°方向，且其到A观测点正北风向的距离BM的长为10$\sqrt{2}$km，一艘货轮从B港口沿如图所示的BC方向航行4$\sqrt{7}$km到达C处，测得C处位于A观测点北偏东75°方向，则此时货轮与A观测点之间的距离AC的长为（　　）km．

• A． 8$\sqrt{3}$
• B． 9$\sqrt{3}$
• C． 6$\sqrt{3}$
• D． 7$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根据∠MAB=45°，BM=10$\sqrt{2}$和勾股定理求出AB的长，再根据tan∠BAD=$\frac{BD}{AD}$，求出BD的长，即可得出AD以及CD的长，进而得出答案．

解答 解：∵∠MAB=45°，BM=10$\sqrt{2}$，
∴AB=$\sqrt{B{M}^{2}+M{A}^{2}}$=$\sqrt{（10\sqrt{2}）^{2}+（10\sqrt{2}）^{2}}$=20km，
过点B作BD⊥AC，交AC的延长线于D，
在Rt△ADB中，∠BAD=∠MAC-∠MAB=75°-45°=30°，
tan∠BAD=$\frac{BD}{AD}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴AD=$\sqrt{3}$BD，
BD²+AD²=AB²，即BD²+（$\sqrt{3}$BD）²=20²，
∴BD=10，
∴AD=10$\sqrt{3}$，
在Rt△BCH中，BD²+CD²=BC²，BC=4$\sqrt{7}$，
∴CD=2$\sqrt{3}$，
∴AC=AD-CD=10$\sqrt{3}$-2$\sqrt{3}$=8$\sqrt{3}$km，
答：此时货轮与A观测点之间的距离AC的长为8$\sqrt{3}$km．
故选A．

点评 此题主要考查了解直角三角形中方向角问题，根据题意作出辅助线，构造直角三角形，求出BD的长是解题关键．