Question

18．如图，在△ABC中，∠C=2∠B，D是BC上的一点，且AD⊥AB，点E是BD的中点，连结AE．
（1）求证：∠AEC=∠C；
（2）若AE=6.5，AD=5，那么△ABE的周长是多少？

Answer 1

分析 （1）首先利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AE=BE=ED，再根据等边对等角可得∠B=∠BAE，从而可得∠AEC=∠B+∠BAE=2∠B，再由条件∠C=2∠B可得结论；
（2）首先利用勾股定理计算出2AB的长，然后可得答案．

解答 （1）证明：∵AD⊥AB，
∴△ABD为直角三角形，
又∵点E是BD的中点，
∴$AE=\frac{1}{2}BD=BE$，
∴∠B=∠BAE，∠AEC=∠B+∠BAE=2∠B，
又∵∠C=2∠B，
∴∠AEC=∠C；

（2）解：在Rt△ABD中，AD=5，BD=2AE=2×6.5=13，
∴$AB=\sqrt{B{D^2}-A{D^2}}=\sqrt{{{13}^2}-{5^2}}=12$，
∴△ABE的周长=AB+BE+AE=12+6.5+6.5=25．

点评 此题主要考查了勾股定理，以及直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．