Question

10．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD⊥DC于D，且AC平分∠DAB，延长DC交AB的延长线于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）若tan∠ABC=$\frac{4}{3}$，BE=7$\sqrt{2}$，求线段PC的长．

Answer 1

分析 （1）由AC平分∠DAB得∠1=∠2，加上∠2=∠3，则∠1=∠3，于是可判断OC∥AD，由于AD⊥DC，所以OC⊥DC，则可根据切线的判定定理得到PD是⊙O的切线；
（2）连结AE，如图，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，则∠ACE=∠BCE=45°，所以∠ABE=∠ACE=∠BAE=∠BCE=45°，则可判断△AEB为等腰直角三角形，所以AB=$\sqrt{2}$BE=14，在Rt△ACB中利用正切定义设AC=4x，BC=3x，则AB=5x，所以5x=14，解得x=$\frac{14}{5}$，则AC=$\frac{56}{5}$，BC=$\frac{42}{5}$，接着证明Rt△ACD∽Rt△ABC，利用相似比计算出AD=$\frac{224}{25}$，CD=$\frac{168}{25}$，然后证明△POC∽△PAD，利用相似的性质得$\frac{PC}{PC+\frac{168}{25}}$=$\frac{7}{\frac{224}{25}}$，再利用比例性质可计算出PC．

解答 （1）证明：∵AC平分∠DAB，
∴∠1=∠2，
∵OA=OC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴OC∥AD，
∵AD⊥DC，
∴OC⊥DC，
∴PD是⊙O的切线；
（2）解：连结AE，如图，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵弦CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE=45°，
∴∠ABE=∠ACE=45°，∠BAE=∠BCE=45°，
∴△AEB为等腰直角三角形，
∴AB=$\sqrt{2}$BE=$\sqrt{2}$×7$\sqrt{2}$=14，
在Rt△ACB中，tan∠ABC=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{4}{3}$，
设AC=4x，BC=3x，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=5x，
∴5x=14，解得x=$\frac{14}{5}$，
∴AC=$\frac{56}{5}$，BC=$\frac{42}{5}$，
∵∠1=∠2，
∴Rt△ACD∽Rt△ABC，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{CD}{BC}$，即$\frac{AD}{\frac{56}{5}}$=$\frac{\frac{56}{5}}{14}$=$\frac{CD}{\frac{42}{5}}$，
∴AD=$\frac{224}{25}$，CD=$\frac{168}{25}$，
∵OC∥AD，
∴△POC∽△PAD，
∴$\frac{PC}{PD}$=$\frac{OC}{AD}$，即$\frac{PC}{PC+\frac{168}{25}}$=$\frac{7}{\frac{224}{25}}$，
∴PC=24．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了相似三角形的判定与性质．