Question

6．如图，已知在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，若将△ABC翻折，且点C落在AB边上点D处，折痕EF分别交边AC，BC于点E和点F，过点D作DK⊥AB，交射线AC于点K．
（1）求证：△DEK∽△DFB．
（2）当点K在线段AC上时，若CD=$\sqrt{10}$时，试求AK的长．
（3）若点K为EC中点时，试求AD的值．

Answer 1

分析 （1）根据等腰直角三角形的性质、翻转变换的性质证明∠EKD=∠FBD，∠EDK=∠FDB即可；
（2）作CH⊥AB于H，根据直角三角形的性质求出AH、BH、CH，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可；
（3）根据△DEK∽△DFB、等腰直角三角形的性质列出比例式，计算即可．

解答 （1）证明：由折叠可得：∠EDF=∠ACB=90°，∠DFE=∠CFE．
∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，
∴∠A=∠B=45°．
∵DK⊥AB，
∴∠ADK=∠BDK=90°，
∴∠AKD=45°，∠EDF=∠KDB=90°，
∴∠EKD=∠FBD，∠EDK=∠FDB，
∴△DEK∽△DFB；

（2）解：作CH⊥AB于H，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，
∴CH=AH=BH=$\frac{1}{2}$AB=3，
∴DH=$\sqrt{C{D}^{2}-C{H}^{2}}$=1，
∴AD=AH-DH=2，
∵△ABC是等腰直角三角形，AB=6，
∴AC=3$\sqrt{2}$，
∵DK⊥AB，CH⊥AB，
∴DK∥CH，
∴$\frac{AK}{AC}$=$\frac{AD}{AH}$，即$\frac{AK}{3\sqrt{2}}$=$\frac{2}{3}$，
解得，AK=2$\sqrt{2}$；

（3）解：∵△DEK∽△DFB，
∴$\frac{DK}{BD}$=$\frac{EK}{BF}$，
∵K为EC中点，
∴$\frac{BF}{DF}$=$\frac{EK}{ED}$=$\frac{1}{2}$，
∴BF=$\sqrt{2}$，
设AD=DK=x，
则AK=$\sqrt{2}$x，CK=EK=3$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$x，BD=6-x，
∴$\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{2}x}{\sqrt{2}}$=$\frac{x}{6-x}$，
解得，x₁=5-$\sqrt{7}$，x₂=5+$\sqrt{7}$（舍去），
答：AD的值为5+$\sqrt{7}$．

点评 本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、翻转变换的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．