Question

18．如图，⊙O是锐角△CBD的外接圆，AB是⊙O的直径，连结AC，若∠DCB=θ，则CD与AC，BC，θ关系正确的是（　　）

• A． CD=（AC+BC）sinθ
• B． CD=（AC+BC）cosθ
• C． CD=AC•cosθ+BC•sinθ
• D． CD=AC•sinθ+BC•cosθ

Answer 1

分析 连接AD，作BH⊥CD于H，根据圆周角定理得到∠ACB=∠ADB=90°，根据正弦、余弦的定义求出BD、BH，根据勾股定理求出DH，计算即可．

解答 解：连接AD，作BH⊥CD于H，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
∴BD=AB•sin∠BAD=AB•sinθ，
在Rt△ACB中，AC²+BC²=AB²=$\frac{B{D}^{2}}{si{n}^{2}θ}$，
即BD²=AC²sin²θ+BC²sin²θ，
BH=BC•sinθ，CH=BC•cosθ，
DH=$\sqrt{B{D}^{2}-B{H}^{2}}$=AC•sinθ，
∴CD=CH+DH=AC•sinθ+BC•cosθ，
故选：D．

点评 本题考查的是三角形的外接圆和外心的概念和性质，掌握圆周角定理、勾股定理、锐角三角函数的定义是解题的关键．