Question

3．如图，在平面直角坐标系中，坐标原点O是正方形OABC的一个顶点，已知点B坐标为（1，7），过点P（a，0）（a＞0）作PE⊥x轴，与边OA交于点E（异于点O、A），将四边形ABCE沿CE翻折，点A′、B′分别是点A、B的对应点，若点A′恰好落在直线PE上，则a的值等于（　　）

• A． $\frac{5}{4}$
• B． $\frac{4}{3}$
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 作辅助线，根据点B的坐标，求出OB和正方形的边长，由正方形的对角线互相垂直平分得：DQ是梯形CMNA的中位线，则CM+AN=2DQ=7，证明△CMO≌△ONA，则ON=CM，所以ON+AN=7，设AN=x，则ON=7-x，
根据勾股定理列方程求出x的值，并取舍，再根据正方形的边长求出OP的长．

解答 解：当点A′恰好落在直线PE上，如图所示，
连接OB、AC，交于点D，过点D、A作x轴的垂线，垂足分别为Q、N，设CB′交x轴于M，则CM∥QD∥AN，
∵四边形OABC是正方形，
∴OD=BD，OB⊥AC，
∵O（0，0），B（1，7），
∴D（$\frac{1}{2}$，$\frac{7}{2}$），即DQ=$\frac{7}{2}$
由勾股定理得：OB=$\sqrt{{1}^{2}+{7}^{2}}$=$\sqrt{50}$=5$\sqrt{2}$，
∵△ABO是等腰直角三角形，
∴AB=AO=5，
∵DQ是梯形CMNA的中位线，
∴CM+AN=2DQ=7，
∵∠COA=90°，
∴∠COM+∠AON=90°，
∵∠CMO=90°，
∴∠COM+∠MCO=90°，
∴∠AON=∠MCO，
∵四边形OABC是正方形，
∴OA=OC，
∵∠CMO=∠ONA=90°，
∴△CMO≌△ONA，
∴ON=CM，
∴ON+AN=7，
设AN=x，则ON=7-x，
在Rt△AON中，由勾股定理得：x²+（7-x）²=5²，
解得：x=3或4，
当x=4时，CM=3，
此时点B在第二象限，不符合题意，
∴x=3，
∴OM=3，
∵A′B′=PM=5，
∴OP=a=2，
故选C．

点评 本题是翻折变换问题，考查了翻折的性质和正方形及坐标与图形的性质，首先明确翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；利用三角形全等和梯形中位线的性质，得出直角三角形两直角边的和为7，设未知数，根据勾股定理列方程得出结论．