如图.在△ABC中.BC=10.AH⊥BC于点H.S△ABC=25.点D为AB边上的任意一点.过点D作DE∥BC.交AC于点E．交AH于点F.以DE为折线将△ADE翻折.所得的△A′DE与四边形BCED重叠部分的面积记为S(点A关于DE的对称点A′落在AH所在的直线上)．设DE=x．(1)当x=2时.重叠部分的面积S=1,的条件下.若点D.A′.C在同一直线上时.求BH的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

4．如图，在△ABC中，BC=10，AH⊥BC于点H，S_△ABC=25，点D为AB边上的任意一点（不与点A、B重合），过点D作DE∥BC，交AC于点E．交AH于点F，以DE为折线将△ADE翻折，所得的△A′DE与四边形BCED重叠部分的面积记为S（点A关于DE的对称点A′落在AH所在的直线上）．设DE=x．
（1）当x=2时，重叠部分的面积S=1；
（2）在（1）的条件下，若点D、A′、C在同一直线上时，求BH的长；
（3）求S与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围．

分析（1）求出高AH长，根据相似求出AF，即可求出S；
（2）根据相似求出CH=DF，根据相似得出比例式，即可求出DF的长，即可求出答案；
（3）①当0＜x≤5时，A′在三角形ABC内部，重合部分为三角形DA′E，因此只需求三角形ADE的面积即可．本题可先通过相似三角形ADE和ABC高的相似比求出DE的长，进而求三角形ADE的面积，也可直接根据三角形面积比等于相似比的平方来求三角形ADE的面积．
②当5＜x＜10时，此时A′落在三角形ABC外部，重合部分的面积可用三角形A′DE的面积即三角形ADE的面积-三角形A′PQ的面积求得．求法同①．

解答解：（1）∵在△ABC中，BC=10，AH⊥BC于点H，S_△ABC=25，
∴$\frac{1}{2}$×BC×AH=25，
∴AH=5，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴$\frac{DE}{BC}$=$\frac{AF}{AH}$，
∴$\frac{2}{10}$=$\frac{AF}{5}$，
解得：AF=1，
即A′F=AF=1，
∴当x=2时，重叠部分的面积S=$\frac{1}{2}$×DE×A′F=1，
故答案为：1；

（2）如图（1），
∵DE∥BC，
∴△DA′F∽△CA′H，
∴$\frac{DF}{CH}$=$\frac{A′F}{A′H}$，
∴$\frac{DF}{CH}$=$\frac{1}{5-1-1}$，
∴CH=3DF，
∵DE∥BC，
∴△ADF∽△ABH，
∴$\frac{DF}{BH}$=$\frac{AF}{AH}$，
∴$\frac{DF}{10-3DF}$=$\frac{1}{5}$，
解得：DF=$\frac{5}{4}$，
∴BH=10-3×$\frac{5}{4}$=$\frac{25}{4}$；
（3）①当0＜x≤5时，由折叠得到的△A'ED落在△ABC内部如图（1），重叠部分为△A'ED，
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
∴△ADE∽△ABC，
∴$\frac{DE}{BC}$=$\frac{AF}{AH}$，
∴$\frac{x}{10}$=$\frac{AF}{5}$，
解得：AF=$\frac{1}{2}$x，
即A′F=AF=$\frac{1}{2}$x，
∴S=$\frac{1}{2}$×DE×A′F=$\frac{1}{2}$×x×$\frac{1}{2}$x=$\frac{1}{4}$x²（0＜x≤5）
②当5＜x＜10时，由折叠得到的△A'ED有一部分落在△ABC外，如图（2），重叠部分为梯形EDPQ，
∵FH=5-AF=5-$\frac{1}{2}$x
A'H=A'F-FH=$\frac{1}{2}$x-（5-$\frac{1}{2}$x）=x-5，
又∵DE∥PQ，
∴△A′PQ∽△A′DE，
∴$\frac{PQ}{DE}$=$\frac{A′H}{A′F}$，
∴$\frac{PQ}{x}$=$\frac{x-5}{\frac{1}{2}x}$，
∴PQ=2（x-5）
∴S=$\frac{1}{2}$（DE+PQ）×FH=$\frac{1}{2}$[x+2（x-5）]（5-$\frac{1}{2}$x），
即S=-$\frac{3}{4}$x²+10x-25（5＜x＜10）．