题目内容
13．
如图，长方体的长为20cm，宽为10cm，高为15cm，棱上点P与顶点A相距5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体表面从点P爬到点B处，需要爬行的最短距离是多少？
分析 此题分两种情况比较最短距离：第一种是，先爬到棱的中点，再到B，此时转换到一个平面内，所走的路程是直角边为20cm、20cm的直角三角形的斜边的长；第二种是，此时转换到一个平面内，所走的路程是直角边为15cm，30cm的直角三角形的斜边的长；再根据勾股定理求出BP的长，比较出其大小即可．
解答 解：分两种情况比较最短距离：
如图1所示，
PB=$\sqrt{2{0}^{2}+2{0}^{2}}$=20$\sqrt{2}$，
如图2所示，
PB=$\sqrt{3{0}^{2}+1{0}^{2}}$=10$\sqrt{10}$，
∵10$\sqrt{10}$＞20$\sqrt{2}$，
∴第一种情况短些，此时最短距离为22$\sqrt{2}$cm．
答：需要爬行的最短距离是20$\sqrt{2}$cm．
点评 本题考查的是平面展开-最短路径问题，根据题意画出图形，再根据勾股定理求解是解答此题的关键．
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