Question

19．已知正方形ABCD，△BEF是等腰直角三角形（BE=EF），联结FD，在FD上取中点G，联结EC和CG，求证：
（1）EG=CG；
（2）EG⊥CG．

Answer 1

分析 （1）连接BD取BD中点O，取BF中点Q，连接OG、EQ、GQ、OC．只要证明△EQG≌△GOC即可．
（2）QG与OC交于点O′，先证明∠GO′C=90°，再利用全等三角形的性质即可解决问题．

解答 证明：（1）连接BD取BD中点O，取BF中点Q，连接OG、EQ、GQ、OC．
∵DO=OB，DG=GF，
∴OG=$\frac{1}{2}$BF，OG∥BF，
∵DG=GF，FQ=QF，
∴GQ∥BD，GQ=$\frac{1}{2}$BD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠BCD=90°，
∴OC=$\frac{1}{2}$BD=QG，OC⊥BD，
∴∠GOC=90°-∠OGQ，
∵BE=EF，∠BEF=90°，
∴EQ⊥BF，∠EQF=90°，
∴∠EQG=90°-∠GQF，
∵∠OGQ=∠GQF，
∴∠GOC=∠EQG，
在△EQG和△GOC中，
$\left\{\begin{array}{l}{EQ=OG}\\{∠EQG=∠GOC}\\{GQ=OC}\end{array}\right.$，
∴△EQG≌△GOC，
∴GC=EQ．
（2）QG与OC交于点O′．
∵△EQG≌△GOC，
∴∠EGQ=∠GCO，
∵OC⊥BD，QG∥BD，
∴OC⊥QG，∠GO′C=90°
∴∠OCG+∠QGC=90°，
∴∠EGQ+∠QGC=90°
∴∠EGC=90°，
∴EG⊥GC．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、正方形的性质、三角形中位线定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，学会利用三角形中位线添加辅助线，掌握证明垂直的方法，属于中考常考题型．