Question

20．（1）如图1，∠MAN=90°，射线AE在这个角的内部，点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上，且AB=AC，CF⊥AE于点F，BD⊥AE于点D．求证：△ABD≌△CAF；
（2）如图2，点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上，点E、F都在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB=AC，且∠1=∠2=∠BAC．求证：△ABE≌△CAF；
（3）如图3，在△ABC中，AB=AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD=2BD，点E、F在线段AD上，∠1=∠2=∠BAC．若△ABC的面积为15，求△ACF与△BDE的面积之和．

Answer 1

分析 图①，求出∠BDA=∠AFC=90°，∠ABD=∠CAF，根据AAS证两三角形全等即可；图②根据已知和三角形外角性质求出∠ABE=∠CAF，∠BAE=∠FCA，根据ASA证两三角形全等即可；图③求出△ABD的面积，根据△ABE≌△CAF得出△ACF与△BDE的面积之和等于△ABD的面积，即可得出答案．

解答 解：（1）如图①，

∵CF⊥AE，BD⊥AE，∠MAN=90°，
∴∠BDA=∠AFC=90°，
∴∠ABD+∠BAD=90°，∠ABD+∠CAF=90°，
∴∠ABD=∠CAF，
在△ABD和△CAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADB=∠CFA}\\{∠ABD=∠CAF}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CAF（AAS）；
（2）∵∠1=∠2=∠BAC，∠1=∠BAE+∠ABE，∠BAC=∠BAE+∠CAF，∠2=∠FCA+∠CAF，
∴∠ABE=∠CAF，∠BAE=∠FCA，
在△ABE和△CAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠CAF}\\{AB=AC}\\{∠BAE=∠ACF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CAF（ASA）；
（3）∵△ABC的面积为15，CD=2BD，
∴△ABD的面积是：$\frac{1}{3}$×15=5，
由（2）中证出△ABE≌△CAF，
∴△ACF与△BDE的面积之和等于△ABE与△BDE的面积之和，即等于△ABD的面积，是5．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积，三角形的外角性质等知识点，主要考查学生的分析问题和解决问题的能力，题目比较典型，证明过程有类似之处．