Question

1．已知CD为Rt△ABC斜边AB上的高，以CD为直径的圆交BC于E点，交AC于F点，G为BD的中点．
（1）求证：GE为⊙O的切线；
（2）若tanB=$\frac{1}{2}$，GE=5，求AD的长．

Answer 1

分析 （1）连DE、OE，利用圆周角定理可得∠CED=∠BED=90°，因为G为BD的中点，由直角三角形的性质可得GE=GD，再由OE=OD，易得∠OED=∠ODE，可得∠GEO=∠GDO，由CD⊥AB，可得∠GEO=∠GDO=90°，可得结论；
（2）首先由垂直的定义易得∠B=∠ACD，利用锐角三角函数可得tanB=$\frac{1}{2}$=$\frac{CD}{BD}$=tan∠DCA=$\frac{AD}{CD}$=$\frac{1}{2}$，易得BD=4AD，可得结果．

解答 （1）证明：连DE、OE，
∵CD为⊙O的直径，
∴∠CED=∠BED=90°，
∵G为BD的中点，
∴GE=GD，
∴GED=∠GDE，
∵OE=OD，
∴∠OED=∠ODE，
∴∠GEO=∠GDO，
∴CD⊥AB，
∴∠GEO=∠GDO=90°，
∴GE为⊙O的切线；

（2）∵CD⊥AB，
∴∠ACD=90°-∠A，
∵∠BCA=90°，
∴∠B=90°-∠A，
∴∠B=∠ACD，
∵tanB=$\frac{1}{2}$=$\frac{CD}{BD}$=tan∠DCA=$\frac{AD}{CD}$=$\frac{1}{2}$，
∴BD=4AD，
∵EG=5，
∴BD=10，AD=$\frac{5}{2}$．

点评 本题主要考查了切线的判定及锐角三角函数等，作出恰当的辅助线是解答此题的关键．