Question

13．Rt△ABC的两条直角边BC=$\sqrt{5}$，AC=2$\sqrt{5}$，斜边AB上的高为CD，若以C为圆心，r为半径作圆O．
（1）当r=2时，试分别判断A，B，D，三点与圆O的位置关系；
（2）当r=$\sqrt{5}$时，⊙O与斜边AB有一个交点为P（与点B不重合），求AP的长．

Answer 1

分析 （1）由勾股定理求出AB=5，由△ABC面积的计算方法得出CD=2；由点到圆心的距离与半径的大小关系即可得出结果；
（2）当r=$\sqrt{5}$时，点B在⊙O上，由勾股定理求出BD，由垂径定理得出BP=2BD=2，即可求出AP的长．

解答 解：（1）如图1所示：
由勾股定理得：AB=$\sqrt{B{C}^{2}+A{C}^{2}}$=5，
∵△ABC的面积=$\frac{1}{2}$AB•CD=$\frac{1}{2}$AC•BC，
∴AB•CD=AC•BC，
即5×CD=2$\sqrt{5}$×$\sqrt{5}$，
解得：CD=2；
当r=2时，AC=2$\sqrt{5}$＞2，CD=2，CB=$\sqrt{5}$＞2，
∴A、B在圆O外，D在圆O上；
（2）当r=$\sqrt{5}$时，点B在⊙O上，如图2所示：
由勾股定理得：BD=$\sqrt{B{C}^{2}-C{D}^{2}}$=1，
∴BP=2BD=2，
∴AP=AB-BP=3．

点评 本题考查了点与圆的位置关系、勾股定理、垂径定理、三角形面积的计算方法；熟练掌握点与圆的位置关系，运用勾股定理进行计算是解决问题的关键．