Question

如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A（-2，4）在抛物线y=ax²上，直角顶点B在x轴上．将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P．则DP的长为

 

．

Answer 1

考点：旋转的性质,二次函数图象上点的坐标特征

专题：

分析：先把A点坐标代入y=ax²求出a=1，得到抛物线的解析式为y=x²，再根据旋转的性质得OD=OB=2，∠ODC=∠OBA=90°，所以D点坐标为（0，2），CD⊥y轴，即P点的纵坐标为2，然后把y=2代入抛物线解析式计算出对应的自变量的值，于是确定P点坐标，利用P点坐标易得PD的长．

解答：解：把A（-2，4）代入y=ax²得4a=4，解得a=1，
∴抛物线的解析式为y=x²，
∵Rt△OAB的顶点A的坐标为（-2，4），AB⊥x轴，
∴AB=4，OB=2，
∵Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°得到△OCD，
∴OD=OB=2，∠ODC=∠OBA=90°，
∴D点坐标为（0，2），CD⊥y轴，
∴P点的纵坐标为2，
把y=2代入y=x²得x²=2，解得x=±

2

（负值舍去），
∴P点坐标为（

2

，2），
∴PD=

2

．
故答案为：

2

．

点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了二次函数图象上点的坐标特征．