Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，翻折∠C，使点C落在斜边AB上某一点D处，折痕为EF（点E、F分别在边AC、BC上）．
（1）若∠CEF=∠A，AC=3，BC=4，则AD的长

 

；
（2）若∠CEF=∠B，求证：DA=DB；
（3）在（2）的条件下，求证：AE²+BF²=EF²．

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）,全等三角形的判定与性质,勾股定理

专题：

分析：（1）求出EF和AB平行，得出CD是高，求出cosA，即可求出AD；
（2）连接CD，求出BD=CD，AD=CD，即可得出答案；
（3）求出AE=BH，根据勾股定理求出FH，再求出EF=FH即可．

解答：解：（1）解答：∵∠CEF=∠A，
∴EF∥AB，
由折叠性质可知，CD⊥EF，
∴CD⊥AB，即此时CD为AB边上的高．
在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=

32+42

=5，
∴cosA=

AC

AB

=

3

5

，
∴AD=AC•cosA=3×

3

5

=

9

5

，
故答案为：

9

5

；

证明：（2）连结CD，交EF于点G，则EF⊥CD，

∵∠CEF+∠CFE=90°，∠GCF+∠CFE=90°，
∴∠CEF=∠GCF．
∵∠CEF=∠B，
∴∠B=∠GCF．
∴DC=DB．                                                     
∵∠FCG+∠ACD=90°，∠B+∠A=90°，
∴∠A=∠ACD．
∴DC=DA．
∴DB=DA；         
                                 
（3）证明：延长ED到H，使DH=DE，连结BH，FH，

∵FD⊥ED，
∴FE=FH，
由（2）得，DB=DA，
在△AED和△DHB中

AD=BD ∠ADE=∠BDH DE=DH

∴△AED≌△BHD，
∴BH=AE，
∠DBH=∠A，
∵∠A+∠CBA=90°，
∴∠HBF=∠DBH+∠CBA=90°，
在Rt△BFH中，FH²=BF²+BH²，
∴AE²+BF²=EF²．

点评：本题主要考查了折叠的性质，勾股定理和全等三角形的判定与性质，难度适中．运用分类讨论及数形结合思想是解题的关键．