Question

9．已知x₁，x₂是关于x的方程x²+2（m-2）x+m²+4=0的两个根，是否存在实数m，使x₁²+x₂²-x₁x₂=21成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 先利用判别式的值得到m≤0，再利用根与系数的关系得到x₁+x₂=-2（m-2），x₁x₂=m²+4，则利用完全平方公式和整体代入的方法由x₁²+x₂²-x₁x₂=21得到[-2（m-2）]²-3（m²+4）=21，解此方程得m₁=17，m₂=-1，然后根据m的取值范围确定m的值．

解答 解：存在．
∵△=[-2（m-2）]²-4（m²+4）≥0，
∴m≤0，
根据根与系数的关系得x₁+x₂=-2（m-2），x₁x₂=m²+4，
∵x₁²+x₂²-x₁x₂=21，
∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂-x₁x₂=21，即（x₁+x₂）²-3x₁x₂=21，
∴[-2（m-2）]²-3（m²+4）=21，
整理得m²-16m-17=0，解得m₁=17，m₂=-1，
而m≤0，
∴m=-1．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．计算出的m的值满足判别式的值大于或等于0．