Question

13．如图1，已知：四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连结AC，BD，若∠DCA+∠DCB=180°．
（1）求证：AD=BD；
（2）如图2，若∠BCA=60°，求证：CD+BC=AC；
（3）如图3，在（2）的条件下，过A作AE⊥AC交⊙O于E，P为弧AD上一点，连接BP、AP、BP与AC交于F点，过A作AH⊥PB于H，若CD=AE，FH：BH=4：21，⊙O半径为5，求弦AP的长．

Answer 1

分析 （1）欲证明AD=BD，只要证明∠DAB=∠DBA即可．
（2）如图2中，延长DC到G，使得CG=CB，连接BG．首先证明△ABD，△CBG是等边三角形，再证明△DBG≌△ACB即可．
（3）如图3中，作连接CE，连接AE、BE．首先证明△BEC是等腰直角三角形，由∠PAH=30°，推出PA=2PH，AH=$\sqrt{3}$PH，设PF=a，FH=4x，则BH=21x，FB=25x，推出PA=2（a+4x），AH=$\sqrt{3}$（a+4x），在Rt△AHF中，由AF²=FH²+AH²，推出AF=$\sqrt{（4x）^{2}+[\sqrt{3}（a+4x）]^{2}}$，由△PAF∽△CBF，得$\frac{PA}{CB}$=$\frac{FA}{FB}$，$\frac{2（a+4x）}{5\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{（4x）^{2}+[\sqrt{3}（a+4x）]^{2}}}{25x}$，即50x²（a+4x）²=16x²+3（a+4x）²    ①，在Rt△ABH中，AH²+BH²=AB²，推出[$\sqrt{3}$（a+4x）]²+（21x）²=（5$\sqrt{3}$）²，即（a+4x）²=25-147x²     ②，解方程组即可解决问题．

解答 （1）证明：如图1中，

∵∠DCA+∠DCB=180°，又∵∠DCB+∠DAB=180°，
∴∠DCA=∠DAB，
∵∠DCA=∠ABD，
∴∠DAB=∠ABD，
∴DA=BD．

（2）证明：如图2中，延长DC到G，使得CG=CB，连接BG．

∵∠BCA=60°，
∴∠ADB=∠ACB=60°，∵DA=DB，
∴△ADB是等边三角形，
∴∠DAB=60°，∠DCB=180°-∠DAB=120°，
∴∠BCG=60°，∵CG=CB，
∴△BCG是等边三角形，
∴∠G=∠ACB=60°，∠CAB=∠BDG，
在△DBG和△ACB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠G=∠ACB}\\{∠BDG=∠BAC}\\{AB=BD}\end{array}\right.$，
∵△DBG≌△ACB（ASA），
∴DG=AC，
∴AC=DC+CG=DC+BC．

（3）解：如图3中，作连接CE，连接AE、BE．

∵△ADB是等边三角形，⊙O半径为5，
∴AB=AD=BD=5$\sqrt{3}$，
∵∠CAE=90°，
∴CE是直径，
∴∠EBC=90°，
∵CD=AE，
∴$\widehat{CD}$=$\widehat{AE}$，
∵$\widehat{DCB}$=$\widehat{AEB}$，
∴$\widehat{BC}$=$\widehat{EB}$，
∴BC=BE，
∵CE=10，
∴EB=BC=5$\sqrt{2}$，
∵∠P=∠ADB=∠ACB=60°，AH⊥PB，
∴∠PAH=30°，
∴PA=2PH，AH=$\sqrt{3}$PH，设PF=a，FH=4x，则BH=21x，FB=25x，
∴PA=2（a+4x），AH=$\sqrt{3}$（a+4x），
在Rt△AHF中，∵AF²=FH²+AH²，
∴AF=$\sqrt{（4x）^{2}+[\sqrt{3}（a+4x）]^{2}}$，
∵∠P=∠ACB=60°，∠PAF=∠CBF，
∴△PAF∽△CBF，
∴$\frac{PA}{CB}$=$\frac{FA}{FB}$，
∴$\frac{2（a+4x）}{5\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{（4x）^{2}+[\sqrt{3}（a+4x）]^{2}}}{25x}$，
即50x²（a+4x）²=16x²+3（a+4x）²    ①
在Rt△ABH中，AH²+BH²=AB²，
∴[$\sqrt{3}$（a+4x）]²+（21x）²=（5$\sqrt{3}$）²，
即（a+4x）²=25-147x²     ②
把②代入①得50x²（25-147x²）=16x²+75-21²x²，
整理得294x⁴-67x²+3=0，
∴（49x²-3）（6x²-1）=0，
∴x²=$\frac{3}{49}$或（x²=$\frac{1}{6}$不合题意舍弃），
把x²=$\frac{3}{49}$代入②得，（a+4x）²=25-9=16，
∴a+4x=4，
∴2（a+4x）=8．
∴AP=8．

点评 本题考查圆综合题、等腰三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，学会利用参数，构建方程，利用方程组解决问题，属于中考压轴题．