Question

如图，在?ABCD中，MN分别是AB、CD的中点，BD分别交AN、CM于点P、Q，在结论：①DP=PQ=QB；②AP=CQ；③CQ=2MQ；④S_△ADP=S_?ABCD中，正确的个数为

1. A.
   1
2. B.
   2
3. C.
   3
4. D.
   4

Answer 1

C
分析：平行四边形ABCD中，M、N分别是边AB、CD的中点，易证△ADN≌△CBM，AN∥CM，根据M是AB的中点，因而BQ=PQ，同理DP=PQ，因而DP=PQ=QB；同理易证△APD≌△CBQ，则AP=CQ；根据AB∥CD，△BMQ∽△DCQ，==2，CQ=2MQ；根据DP=PQ=QB，AN∥CM得到△ADP与平行四边形ABCD中AD边上的高的比是1：3，因而S_△ADP=S_{平行四边形ABCD}．
解答：平行四边形ABCD中，M、N分别是边AB、CD的中点，
∴DN=MB，∠MBC=∠NDA，AD=BC，
∵在△ADN和△CBM中

∴△ADN≌△CBM（SAS），
∴∠DNA=CMB，
∵AB∥CD，
∴∠DNA=∠NAM，
∴∠NAM=∠CMB，
∴AN∥CM，
∵M是AB的中点，
∴BQ=PQ，
同理DP=PQ，因而DP=PQ=QB，故①正确，
∵在△ADP和△CBQ中，
，
∴△ADP≌△CBQ（SAS），
∴AP=CQ，故②正确；
∵AB∥CD，
∴△BMQ∽△DCQ，
∴==2，
∴CQ=2MQ，故③正确；
∵DP=PQ=QB，
∴AN∥CM得到△ADP与平行四边形ABCD中AD边上的高的比是1：3，
∴S_△ADP=S_{平行四边形ABCD}，
∴正确结论的个数为：①②③3个．
故选：C．
点评：本题考查了平行线分线段成比例定理的推论、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、三角形面积的计算，得出全等三角形△ADN≌△CBM是解题关键．