Question

5．如图甲，点E为矩形ABCD边AD上一点，点P，Q同时从B点出发，点P沿BE→ED→DC运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s，设P、Q出发t秒时，△BPQ的面积为y（cm²），已知y与t的函数关系的图象如图乙（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：
①当0＜t≤5时，y=$\frac{2}{5}$t²
②tan∠ABE=$\frac{3}{4}$
③点H的坐标为（11，0）
④△ABE与△QBP不可能相似．
其中正确的是①②③（把你认为正确结论的序号都填上）

Answer 1

分析 根据图乙可以判断三角形的面积变化分为三段，可以判断出当点P到达点E时点Q到达点C，从而得到BC、BE的长度，再根据M、N是从5秒到7秒，可得ED的长度，然后表示出AE的长度，根据勾股定理求出AB的长度，然后针对各小题分析解答即可．

解答 ①如图1，过点P作PF⊥BC于点F，
根据面积不变时△BPQ的面积为10，可得AB=4，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠PBF，
∴sin∠PBF=sin∠AEB=$\frac{AB}{BE}=\frac{4}{5}$，
∴PF=PBsin∠PBF=$\frac{4}{5}$t，
∴当0＜t≤5时，y=$\frac{1}{2}$BQ•PF=$\frac{1}{2}$t•$\frac{4}{5}$t=$\frac{2}{5}$t^2（故②正确）；
②又∵从M到N的变化是2，
∴ED=2，
∴AE=AD-ED=5-2=3，
∴tan∠ABE=$\frac{AE}{AB}$=$\frac{3}{4}$，故②正确；
③由图象知，在D点时，出发时间为7s，因为CD=4，所以H（11，0），故③正确；
④当△ABE与△QBP相似时，点P在DC上，如图2所示：
∵tan∠PBQ=tan∠ABE=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{PQ}{BQ}=\frac{3}{4}$，即$\frac{11-t}{5}=\frac{3}{4}$，
解得：t=$\frac{29}{4}$．
故④错误；
故答案为：①②③．

点评 本题考查了二次函数的综合应用及动点问题的函数图象，根据图（2）判断出点P到达点E时，点Q到达点C是解题的关键，也是本题的突破口，难度较大．