Question

14．如图：CD是⊙O的直径，线段AB过圆心O，且OA=OB=$\sqrt{5}$，CD=2，连接AC、AD、BD、BC、AD、CB分别交⊙O于E、F．
（1）问四边形CEDF是何种特殊四边形？请证明你的结论；
（2）当AC与⊙O相切时，四边形CEDF是正方形吗？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）四边形CEDF是矩形，理由是由CD是⊙O的直径，得出∠CFD=∠CED=90°，证出平行四边形ADBC，得出CB∥AD，根据平行线的性质得出∠EDF=90°，即可判断出答案；
（2）在Rt△ACO中，OA=$\sqrt{5}$，OC=1，根据勾股定理求出AC，推出CD=AC=2，∠CDE=45°，进一步推出DE=CE，即可推出答案．

解答 解：（1）四边形CEDF是矩形．
证明：∵CD是⊙O的直径，
∴∠CFD=∠CED=90°，
∵CD⊙O的直径，
∴OC=OD，∵OA=OB，
∴四边形ADBC是平行四边形，
∴CB∥AD，
∴∠CFD+∠EDF=180°，
∴∠EDF=90°，
∴四边形CEDF是矩形．

（2）解：四边形CEDF是正方形．
理由：∵AC是⊙O的切线，CD是直径，
∴∠ACD=90°，
在Rt△ACO中，OA=$\sqrt{5}$，OC=$\frac{1}{2}$CD=1，AC²+1²=5，
∴AC=2，
则CD=AC=2，∠CDE=45°，
∴DE=CE，
∴矩形CEDF是正方形．

点评 本题主要考查了对勾股定理，平行四边形的性质和判定，矩形的判定，正方形的判定，切线的性质，平行线的性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是证此题的关键，题型较好，难度适中．