Question

【题目】如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，点D、E分别是AB、BC的中点，把△BDE绕点B旋转，连接AD、AE、CD、CE，如图2．

（1）求证：△BDE∽△BAC．

（2）求△ABE面积最大时，△ADE的面积．

（3）在旋转过程中，当点D落在△ACE的边所在直线上时，直接写出CE的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）满足条件的CE的值为或+1或﹣1．

【解析】

1)利用三角形的中位线定理即可解决问题．
当时，的面积最大，根据求解即可．

分4种情形：如图中，当点D在线段AE上时，如图中，当点D在线段CE上，分别求解即可．如图中，当点D在AE的延长线上时．如图中，当点D在CE的延长线上时，分别求解即可．

解：（1）如图1中，

∵点D、E分别是AB、BC的中点，

∴DE∥AC，

∴△BDE∽△BAC．

（2）如图2中，作AH⊥BC于H．

当EB⊥AB时，△ABE的面积最大，

S△ADE＝S△ABE﹣S△BDE﹣S△ADB＝.

（3）如图3﹣2中，当点D在AE上时，

∵∠ABC＝∠DBE＝45°，

∴∠ABD＝∠CBE，

，
∴△ABD∽△CBE，

∴∠ADB＝∠BEC＝90°，

∴EC＝．

如图3﹣2中，当点D在线段CE上，

在Rt△BDC中，CD＝，

∴EC＝1+．

如图3﹣3中，当点D在AE的延长线上时，易证∠BEC＝90°，CE＝

如图3﹣4中，当点D在CE的延长线上时，

在Rt△BCD中，CD＝，，

∴EC＝﹣1

综上所述，满足条件的CE的值为或+1或﹣1．