Question

16．如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AB=BC，E是AB的中点，且AD=$\frac{1}{2}$AB．
（1）求证：BD⊥EC．
（2）连接DE交AC于点M，求证：AM²=$\frac{1}{2}$EH•DC．

Answer 1

分析 （1）先证明△DAB≌△EBC，于是得到∠ADB=∠BEC，由AD∥BC，可知∠ADB=∠DBC，故此∠∠BEC=∠HBC，然后由∠BEC+∠ECB=90°，可得到∠HBC+BCH=90°，故此可知BD⊥EC；
（2）连接AH．先证明△AED、△ABC、△AEM为等腰直角三角形，从而得到AE=$\sqrt{2}$AM，由等腰三角形三线合一的性质可证明AC是ED的垂直平分线，故此DC=EC，然后再证明△AEH∽△CEA，由相似三角形的性质可得到AM²=$\frac{1}{2}$EH•DC．

解答 （1）证明：∵E是AB的中点，且AD=$\frac{1}{2}$AB，
∴AE=AD．
在△DAB和△EBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=EB}\\{∠DAB=∠EBC=90°}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△DAB≌△EBC．
∴∠ADB=∠BEC．
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC．
∴∠∠BEC=∠HBC．
∵∠BEC+∠ECB=90°，
∴∠HBC+BCH=90°．
∴D⊥EC．
（2）解：如图所示，连接AH．

∵E是AB的中点，且AD=$\frac{1}{2}$AB，
∴AE=AD．
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠BAC=45°．
∴AC平分∠EAD．
∴AM⊥DE，ME=DM．
∴DC=EC．
∵在Rt△AEM中，∠EAM=45°
∴AE=$\sqrt{2}AM$．
∵EC⊥BD，
∴∠EHD=90°．
∴∠EAD+∠EHD=180°．
∴A、E、H、D四共圆．
∴∠AHE=∠ADE=45°．
∴∠AHE=∠EAC=45°．
又∵∠AEH=∠CEA，
∴△AEH∽△CEA．
∴$\frac{AE}{EH}=\frac{EC}{AE}$，即$\frac{\sqrt{2}AM}{EH}=\frac{DC}{\sqrt{2}AM}$．
∴AM²=$\frac{1}{2}EH•DC$．

点评 本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定、四点共圆的条件、圆周角定理、等腰直角三角形的性质和判定，连接AH，证明△AEH∽△CEA是解题的关键．