Question

7．（1）画出“弦图”，并利用“弦图”证明勾股定理．
（2）如图，是4个完全相同的直角三角形适当拼接后形成的图形，这些直角三角形的两直角边分别为a、b，斜边为c．请利用这个图形验证勾股定理．

Answer 1

分析 （1）先证出四边形ABDE和四边形GHMC是正方形，分别用两种方法求出大正方形的面积，即可得出答案．
（2）验证勾股定理，根据已知条件，可通过求该图形的面积列出等式，化简即可得到勾股定理的形式．

解答 （1）解：如图所示：
∵△ABC、△BMD、△DHE、△AGE是全等的四个直角三角形，
∴AE=DE=BD=AB，∠EAG+∠BAC=∠EAG+∠AEG=180°-90°=90°，
∴四边形ABDE是正方形，
∵∠AGE=∠EHD=∠BMD=∠ACB=90°，
∴∠HGC=90°，
∵GH=HM=CM=CG=b-a，
∴四边形GHMC是正方形，
∴大正方形的面积是c×c=c²，
大正方形的面积也可以是：4×$\frac{1}{2}$ab+（b-a）²=2ab+a²-2ab+b²=a²+b²，
∴a²+b²=c²，
即在直角三角形中，两直角边（a、b）的平方和等于斜边（c）的平方．
（2）证明：该图形的面积，有两种求法：
一种为正方形的面积+两个直角三角形的面积；
一种为两正方形的面积+两直角三角形的面积，
根据两种求法的面积相等可得：c²+2×$\frac{1}{2}$ab=b²+2×$\frac{1}{2}$ab+a²，
化简得，a²+b²=c²．

点评 本题考查了勾股定理的证明，考查了学生对组合图形的认识和勾股定理证明的认识，题目比较好，难度不大．