Question

8．如图是小磊家的两个房间甲与乙，他将一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距离地面的垂直距离记作MA，如果梯子的底端不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子的顶端距离地面的垂直距离记作NB．
（1）当他在甲房间时，测得MA=a，NB=b，求甲房间的宽AB；
（2）当他在乙房间时，测得MA=c，NB=d，且∠MPA=75°，∠NPB=45°
①求∠MPN的度数；             
②求乙房间的宽AB．

Answer 1

分析 （1）证明△AMP≌△BPN，从而得到MA=PB=a，PA=NB=b，即可求出AB=PA+PB=a+b；
（2）①根据平角的定义即可求出∠MPN=60°；
②根据PM=PN以及∠MPN的度数可得到△PMN为等边三角形．利用相应的三角函数表示出MN，MP的长，可得到房间宽AB和AM长相等．

解答 解：（1）∵∠MPN=180°，
∴∠APM+∠BPN=90°，
∵∠APM+∠AMP=90°，
∴∠AMP=∠BPN．
在△AMP与△BPN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AMP=∠BPN}\\{∠MAP=∠PBN=90°}\\{MP=PN}\end{array}\right.$，
∴△AMP≌△BPN，
∴MA=PB=a，PA=NB=b，
∴AB=PA+PB=a+b；

（2）①∠MPN=180°-∠APM-∠BPN=60°；

②过N点作MA垂线，垂足点D，连接NM．
设AB=x，且AB=ND=x．
∵梯子的倾斜角∠BPN为45°，
∴△BNP为等腰直角三角形，△PNM为等边三角形（180-45-75=60°，梯子长度相同），∠MND=15°．
∵∠APM=75°，
∴∠AMP=15°．
∴cos15°=$\frac{x}{MN}$=$\frac{MA}{MP}$．
∵△PNM为等边三角形，
∴NM=PM．
∴x=MA=c．
即乙房间的宽AB是c．

点评 此题考查了全等三角形的应用，解直角三角形的应用，根据PM=PN以及∠MPN的度数得到△PMN为等边三角形是解题的关键．