Question

已知AD是△ABC的高，△ABC外接圆的半径为R，
（1）当△ABC为锐角三角形时，求证：AB•AC=2AD•R；
（2）若△ABC为钝角三角形（∠C为钝角），（1）的结论还成立吗？请画图证明你的结论．

Answer 1

考点：三角形的外接圆与外心,圆周角定理,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）连接AO并延长交⊙O于点E，连接CE，根据相似三角形的判定定理得出△ABD∽△AEC，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论；
（2）根据题意画出图形，连接AO并延长交⊙O于点E，连接CE，根据相似三角形的判定定理得出△ABD∽△AEC，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论．

解答：（1）证明：如图1所示，
连接AO并延长交⊙O于点E，连接CE，
∵∠B与∠E是

AC

所对的圆周角，
∴∠B=∠E．
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB=90°，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ACE=90°，
∴△ABD∽△AEC，
∴

AB

AE

=

AD

AC

，
∵AE是⊙O的直径，
∴AE=2R，
∴

AB

2R

=

AD

AC

，即AB•AC=2R•AD；

（2）成立．
证明：如图2所示，
连接AO并延长交⊙O于点E，连接CE，
∵∠B与∠E是

AC

所对的圆周角，
∴∠B=∠E．
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB=90°，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ACE=90°，
∴△ABD∽△AEC，
∴

AB

AE

=

AD

AC

，
∵AE是⊙O的直径，
∴AE=2R，
∴

AB

2R

=

AD

AC

，即AB•AC=2R•AD．

点评：本题考查的是三角形的外接圆与外心，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．