Question

2．如图，点E为矩形ABCD中CD边上的一点，AB=3，AD=4，以AE为直径的⊙O恰好与BC边相切，则⊙O的半径为$\frac{13}{6}$．

Answer 1

分析 作OH⊥BC于H，HO交AD于G，如图，利用切线的性质得OH为⊙O的半径，设⊙O的半径为r，则OH=OA=OE=r，再证明OG⊥AD，则利用垂径定理得到AG=DG=$\frac{1}{2}$AD=2，易得四边形ABHG为矩形，则OG=3-r，然后在Rt△AOG中利用勾股定理得到（3-r）²+2²=r²，然后解方程即可．

解答 解：作OH⊥BC于H，HO交AD于G，如图，
∵以AE为直径的⊙O恰好与BC边相切，
∴OH为⊙O的半径，
设⊙O的半径为r，则OH=OA=OE=r，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴OG⊥AD，
∴AG=DG=$\frac{1}{2}$AD=2，
易得四边形ABHG为矩形，
∴GH=AB=3，
∴OG=3-r，
在Rt△AOG中，∵OG²+AG²=OA²，
∴（3-r）²+2²=r²，解得r=$\frac{13}{6}$，
即⊙O的半径为$\frac{13}{6}$．
故答案为$\frac{13}{6}$．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了矩形的性质．