Question

4．已知：正方形ABCD，E、F分别在BC、CD上，连结AE、AF、EF．
（1）如图1，若∠EAF=30°，∠AEF=90°，AB=4，求EC的长．
（2）如图2，若∠EAF=45°，连结BD分别交AF、AE于G、H．
①求证：AG²=GH•GB．
②求证：BH²+DG²=HG²．

Answer 1

分析 （1）通过相似三角形△ABE∽△ECF的对应边成比例和解直角△AEF来求EC的长度即可；
（2）①利用相似△AGH∽△BGA的对应边成比例得到：$\frac{AG}{BG}=\frac{HG}{AG}$，则AG²=BG•HG；
②将△AGH绕点A逆时针旋转90°得到△AG′H，根据旋转的性质得到：△AG′H≌△AGH，则由该全等三角形的对应边相等推知GH=G′H，所以结合勾股定理证得结论．

解答 解：（1）如图1，∵∠EAF=30°，∠AEF=90°，
∴cot∠EAF=$\frac{AE}{EF}$，即cot30°=$\frac{AE}{EF}$=$\sqrt{3}$．
又∵∠B=∠C，∠BAE=∠CEF（同角的余角相等），
∴△ABE∽△ECF，
∴$\frac{AB}{EC}$=$\frac{AE}{EF}$=$\sqrt{3}$．
又∵AB=$\frac{4}{EC}$=$\sqrt{3}$，
∴EC=$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$；

（2）①证明：如图2，在正方形ABCD中，∵BD是对角线，
∴∠ABD=45°，
又∠EAF=45°，
∴∠ABD=∠EAF．
又∠AGH=∠BGA，
∴△AGH∽△BGA，
∴$\frac{AG}{BG}=\frac{HG}{AG}$，
∴AG²=BG•HG；

②证明：如图3，将△AGD绕点A顺时针旋转90°至△AG′B处，连结G′H，
易证：△AG′H≌△AGH．
得GH=G′H
又∠G′BH=45°+45°=90°
故BG′²+BH²=G′H²
即DG²+BH²=GH²．

点评 本题是四边形综合题型，主要利用了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，难点在于利用旋转变换作辅助线构造出全等三角形．