Question

6．已知△ABC的三边长分别为2，3，4，M为三角形内一点，过点M作三边的平行线，交各边于D、E、F、P、Q（如图）．如果DE=FG=PQ=x，则x=（　　）

• A． $\frac{18}{13}$
• B． $\frac{20}{13}$
• C． $\frac{22}{13}$
• D． $\frac{24}{13}$

Answer 1

分析 首先证得四边形BDPM，四边形AFMQ，四边形CEMG均为平行四边形，利用平行线分线段成比例定理可得AD，AE，易得BD，PM，QM，利用平行四边形的性质可得PM，MG，由AA定理易得△QME∽△MPG，利用相似三角形的性质列方程，解得x．

解答 解：∵PQ∥AB，DE∥BC，FG∥AC，
∴四边形BDPM，四边形AFMQ，四边形CEMG均为平行四边形，
∵DE∥BC，
∴$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，
∴$\frac{x}{4}=\frac{AD}{2}=\frac{AE}{3}$，
∴AD=$\frac{1}{2}x$，AE=$\frac{3}{4}x$，
∴BD=2-$\frac{1}{2}x$=PM，CE=3-$\frac{3}{4}x$=MG，
∴QM=x-PM=x-2$+\frac{1}{2}x$=$\frac{3}{2}x-2$，
FM=x-MG=x-3$+\frac{3}{4}x$=$\frac{7}{4}x$-3=AQ，
∴QE=$\frac{3}{4}x-\frac{7}{4}x+3$=3-x，
∵FG∥AC，DE∥BC，
∴∠QEM=∠MGP，∠MQE=∠PMG，
∴△QME∽△MPG，
∴$\frac{QM}{PM}=\frac{QE}{MG}$，
∴$\frac{\frac{3}{2}x-2}{2-\frac{1}{2}x}=\frac{3-x}{3-\frac{3}{4}x}$，
解得x=$\frac{24}{13}$．
故选D．

点评 本题主要考查了平行四边形的判定及性质定理和相似三角形的判定及性质定理，能够用x表示出其它边的长是解答此题的关键．