Question

20．已知两个函数，如果对于任意的自变量x，这两个函数对应的函数值记为y₁，y₂，都有点（x，y₁）、（x，y₂）关于点（x，x）对称，则称这两个函数为关于y=x的对称函数，例如，y₁=$\frac{1}{2}$x和y₂=$\frac{3}{2}$x为关于y=x的对称函数．
（1）判断：①y₁=3x和y₂=-x；②y₁=x+1和y₂=x-1；③y₁=x²+1和y₂=x²-1，其中为关于y=x的对称函数的是①②（填序号）
（2）若y₁=3x+2和y₂=kx+b（k≠0）为关于y=x的对称函数．
①求k、b的值．
②对于任意的实数x，满足x＞m时，y₁＞y₂恒成立，则m满足的条件为m≥-1．
（3）若y₁=ax²+bx+c（a≠0）和y₂=x²+n为关于y=x的对称函数，且对于任意的实数x，都有y₁＜y₂，请结合函数的图象，求n的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=x，可得y₁与y₂关于y=x对称；
（2）①根据$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=x，y₁与y₂关于y=x对称，可得关于k，b的方程，根据解方程，可得答案；
②根据解不等式，可得答案；
（3）根据$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=x，y₁与y₂关于y=x对称，可得y₁，根据解方程组，可得答案．

解答 解：（1）①y₁=3x和y₂=-x，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=$\frac{3x-x}{2}$=x，y₁=3x和y₂=-x关于y=x对称函数；
②y₁=x+1和y₂=x-1，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=$\frac{x+1+x-1}{2}$=x，y₁=x+1和y₂=x-1关于y=x对称；
③y₁=x²+1和y₂=x²-1，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=$\frac{{x}^{2}+1+{x}^{2}-1}{2}$=x²≠x，y₁=x²+1和y₂=x²-1不关于y=x对称；
故答案为：①②；
（2）①y₁=3x+2和y₂=kx+b（k≠0）为关于y=x的对称函数，得
$\frac{3x+2+kx+b}{2}$=x．
化简，得（3+k）x+（2+b）=2x．
3+k=2，2+b=0．
解得k=-1，b=-2．
②x＞m时，y₁＞y₂恒成立，得
3x+2＞-x-2．
解得x＞-1，
m≥-1，
故答案为：m≥-1；
（3）由y₁=ax²+bx+c（a≠0）和y₂=x²+n为关于y=x的对称函数，得
$\frac{a{x}^{2}+bx+c+{x}^{2}+n}{2}$=x．
解得a=-1，b=2，c=-n．
对于任意的实数x，都有y₁＜y₂，得
x²+n＞-x²+2x-n．
化简，得
x²+n＞x，
即x²-x+n＞0，
△=（-1）²-4n＜0，
解得n＞$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=x，可得y₁与y₂关于y=x对称是解题关键，又利用了解不等式得出m的取值范围；利用不等式无解得出判别式小于零是解题关键．