Question

2．在正方形ABCD中，将直线AB绕点A顺时针旋转n°得直线AG，点I与B点关于直线AG对称，BI交AG于F，连接
DI交AG于H．
（1）如图1，连接BD，当n=30时，求∠1的度数．
（2）如图2，连接CH，求证：CH⊥AG；
（3）如图3，当n=60，AB=2时，CH的长为$\sqrt{3}$+1．

Answer 1

分析 （1）连接AI，根据正方形的性质和三角形内角和定理计算即可；
（2）连接AI、BH、BD，证明A、H、C、D四点共圆，得到∠AHC=∠ABC=90°，根据垂直的定义证明即可；
（3）作BK⊥HC于K，连接AI，证明四边形FBKH是正方形，根据直角三角形的性质计算即可．

解答 解：（1）如图1，连接AI，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠4=90°，AB=AD．
∵点I与B点关于直线AG对称，∠3=30°，
∴∠2=30°，AI=AB．
∴AI=AD．∴∠5=∠6=（180°-150°）÷2=15°．
又∵∠ADB=45°，
∴∠1=30°．
（2）如图2，分别连接AI、BH、BD，同（1）可证：∠1=∠2，∠3=∠2．
∴∠1=∠3．
∵点I与B点关于直线AG对称，
∴HI=HB，
∴∠BHD=∠4=90°．
又∵∠BCD=90°，
∴A、H、C都在以BD为直径的圆上．
∴∠AHC=∠ABC=90°．
∴CH⊥AG．
（3）作BK⊥HC于K，连接AI，
由（1）得∠BID=45°．
又∵∠HFI=90°，
∴FH=FI=FB．
由（2）知：∠HFB=90°．
∴四边形FBKH是正方形．
∴HK=FB=BK．
在Rt△AFB中，∵∠BAG=60°，
∴∠ABG=30°．又∵AB=2，
∴AF=1，FB=$\sqrt{3}$AF=$\sqrt{3}$．
同理可得：KC=1．
∴CH=HK+KC=$\sqrt{3}$+1．

点评 本题考查了正方形的性质、轴对称的性质、旋转的性质以及等腰三角形的判定与性质、面积的计算方法；熟练掌握正方形和轴对称的性质得出等腰三角形，进一步得出角之间的关系是解决问题的关键．