题目内容
5．如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AD=9，AB=12，BC=15．动点P从点B出发，沿BD向点D匀速运动；线段EF从DC出发，沿DA向点A匀速运动，且与BD交于点Q，连接PE、PF．若P、Q两点同时出发，速度均为1个单位∕秒，当P、Q两点相遇时，整个运动停止．设运动时间为t（s）．（1）当PE∥AB时，求t的值；
（2）设△PEF的面积为S，求S关于t的函数关系式；
（3）如图2，当△PEF的外接圆圆心O恰好在EF的中点时，求t的值．
分析 （1）由勾股定理求出BD，当PE∥AB时，∠PEA=∠DEP=90°，作PK⊥AB于K，则PK=AE，PK∥AD，则$\frac{PK}{AD}=\frac{BP}{BD}$，得出AE=PK=$\frac{3}{5}$t，由AD=AE+ED=$\frac{3t}{5}$+t=9，解方程即可；
（2）过点P作BC的平行线，交EF于G，由BD=15=BC，得出∠BCD=∠BDC，由平行线的性质得出证出∠DEQ=∠EQD，得出DQ=DE=t，同理：PG=PQ=15-2t，得出S=$\frac{1}{2}$PG•AB，即可得出结果；
（3）过点P作BC的垂线，交AD于M，交BC于N，则∠PME=∠FNP=90°，若△PEF的外接圆圆心O恰好在EF的中点，则EF为直径，由圆周角定理得出∠EPF=90°，证出∠PEM=∠FPN，得出△EMP∽△PNF，得出对应边成比例$\frac{EM}{MP}$=$\frac{PN}{NF}$，即可求出t的值．
解答 解：（1）∵∠A=90°
∴BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{1{2}^{2}+{9}^{2}}$=15，
当PE∥AB时，∠PEA=∠DEP=90°，
作PK⊥AB于K，如图1所示：
则PK=AE，PK∥AD，
则$\frac{PK}{AD}=\frac{BP}{BD}$，即$\frac{PK}{9}=\frac{t}{15}$，
∴AE=PK=$\frac{3}{5}$t，
∴AD=AE+ED=$\frac{3t}{5}$+t=9，
解得：t=$\frac{45}{8}$；
（2）过点P作BC的平行线，交EF于G，如图2所示：
∵BD=15=BC，
∴∠BCD=∠BDC，
∵AD∥BC，EF∥DC，
∴∠∠DEQ=∠BCD，∠EQD=∠BDC，
∴∠DEQ=∠EQD，
∴DQ=DE=t，
同理：PG=PQ=15-2t，
∴S=$\frac{1}{2}$PG•AB=$\frac{1}{2}$×12（15-2t）=90-12t
（3）过点P作BC的垂线，交AD于M，交BC于N，如图3所示：
则∠PME=∠FNP=90°，
∴∠MPE+∠PEM=90°，
若△PEF的外接圆圆心O恰好在EF的中点，
∴EF为直径，
∴∠EPF=90°，
∴∠MPE+∠FPN=90°，
∴∠PEM=∠FPN，
∴△EMP∽△PNF，
∴$\frac{EM}{MP}$=$\frac{PN}{NF}$，即$\frac{9-\frac{8}{5}t}{12-\frac{4}{5}t}=\frac{\frac{4}{5}t}{15-\frac{8}{5}t}$，
解得：t=$\frac{15}{4}$或$\frac{45}{4}$，
∵2t≤15，
∴t≤$\frac{15}{2}$，
∴t=$\frac{15}{4}$．
点评 本题是圆的综合题目，考查了直角梯形的性质、相似三角形的判定与性质、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（3）中，需要通过作辅助线证明三角形相似和运用圆周角定理才能得出结果．
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