Question

4．已知：在四边形ABCD中，对角线AC、BD恰好平分这个四边形的面积．求证：这个四边形是平行四边形．

Answer 1

分析 过点A作AE⊥BD于E，过点C作CF⊥BD于F，过点B作BG⊥AC于G，过点D作DH⊥AC于H，如图，由对角线AC平分四边形ABCD的面积可得AE=CF，由此可证到△AEO≌△CFO，即可得到OA=OC，同理可得OB=OD，即可得到四边形ABCD是平行四边形．

解答 证明：过点A作AE⊥BD于E，过点C作CF⊥BD于F，
过点B作BG⊥AC于G，过点D作DH⊥AC于H，如图所示．

∵S_△ABD=S_△CBD，
∴$\frac{1}{2}$BD•AE=$\frac{1}{2}$BD•CF，
∴AE=CF．
在△AEO和△CFO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEO=∠CFO}\\{∠AOE=∠COF}\\{AE=CF}\end{array}\right.$，
∴△AEO≌△CFO，
∴OA=OC，
同理OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定、三角形的面积公式等知识，由高相等联想到所在的两个三角形全等是解决本题关键．